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Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants?

  1. #1
    benmrad

    Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants?

    Dans mon cours de maths il y a un paragraphe parlant d'un cas précis des équations différentielles de deuxième ordre à coefficients constants.

    y''+ay'+by=P(x).exp(wx)
    avec P(x) un polynome et w un réel ou un imaginaire.

    Pour la solution homogène c'est simple, et pour la solution particulière la règle dit: yp(x)=Q(x).exp(wx)

    en s'exerçant j'ai rencontré un petit problème: comment determiner Q(x) sachant que je dispose de toute les règles quant au degré de Q, ça peut être égal au degré de P ou +1 ou +2

    Mais bon, dans ce cas par exemple: y''-2y'+y=x³.exp(x) je cherche la solution homogène et je la trouve facilement puis
    je trouve que degré de Q= degré de P+2 jusqu'au là tout est bon. je fais les dérivés pour trouver y''p et y'p et je remplace dans y''-2y'+y=x³.exp(x) et je trouve que Q''(x)=x³ cela veut-t-il dire que le Q(x)=1/20 x⁵? y a pas x⁴ dans ce polynome? Je ne suis pas sur je bugg

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants? Aidez-moi SVP

    Bonjour.

    Je traite seulement la question :
    Q''(x)=x³ donne Q'(x)=x^4/4 +C1 puis Q(x)=x^5/20+C1x+C2. Pas de x^4.

    Les maths c'est simple, quand on applique les règles sans imaginer à priori les réponses.

    Cordialement.

    NB : Comme on cherche une solution particulière, on peut prendre C1=C2=0, puis vérifier.
    Dernière modification par gg0 ; 01/01/2017 à 17h27.

  4. #3
    Inaaass

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants? Aidez-moi SVP

    Quand tu determines le degres le Q , comme dans ton exemple , tu recherches une solution particulière de la sorte : yp(x) =Q(x).exp(x) ( pour ton exemple sinon on pourrait avoir autre chose que exp(x)). Dans ce cas , tu calculs tes yp" et yp' , avec l'expression de Q(x) = ax^5 + bx^4 +cx^3+dx^2+ex+d , pour simplifier les calculs ici , on pourrais prendre Q(x)= ax^5 + bx^4 +cx^3+dx^2 car de toute manière , ex+d on les retrouves dans les l'equation homogène ( car Delta=0) . Bref , on calculant yp' et yp" avec l'expression COMPLÈTE de Q(x) , tu remplaces dans l'équation différentiel ensuite tu simplifies toutes les exp(x) et tu identifies en rassemblant les termes de chaque puissances à part , ainsi tu arrives à des équations ( autant d'équations que d'inconnus) .
    Ainsi tu retrouves a , b , c , d et tu as ton yp(x).
    En espérant t'avoir aider.

  5. #4
    benmrad

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants? Aidez-moi SVP

    Merci infiniment

  6. #5
    benmrad

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants? Aidez-moi SVP

    Merci beaucoup Inaaass, tu m'as vraiment aidé

  7. #6
    Inaaass

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants? Aidez-moi SVP

    Sans soucis ! Avec plaisir , Très bon courage

  8. #7
    karim19240

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants? Aidez-moi SVP

    Bonsoir et bonne année à tous

    Je dois résoudre une équation différentiele de second ordre en utilisant la transformée de Laplace et je suis bloqué à la décomposition en élément simple.

    équation du second ordre: y"+y'+y= H (t)−2 ·H (t −1)+H (t −2)
    condition initiale:
    y'(0)=0
    y(0)=0
    Merci pour votre aide

  9. #8
    God's Breath

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants? Aidez-moi SVP

    Bonjour,

    Citation Envoyé par karim19240 Voir le message
    je suis bloqué à la décomposition en élément simple.
    Quelle est la fraction à décomposer en éléments simples ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  10. #9
    karim19240

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants?

    (1-2*exp^-p+exp^-2*p)/p(p²+p+1)= A/p+Bp+ C/p²+p+1

    J'ai trouvé le coefficient A mais je ne trouve pas les coefficients B et C.

  11. #10
    God's Breath

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants?

    On ne peut pas décomposer qui n'est pas une fraction rationnelle, mais seulement .

    La méthode classique

    On part de :


    On multiplie par , d'où :



    et on évalue pour pour annuler le polynôme .
    L'égalité obtenue permet de calculer et
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #11
    karim19240

    Re : Équation différentielle de deuxième ordre à coefficients constants?

    D'accord merci beaucoup

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