Équation différentielle du second ordre à coefficients non constants

[lena9]

je veux résoudre cette équation différentielle
r^2 U'' (r)+rU' (r)+kU(r) =0
avec k=V''(téta)/V(téta)=constante

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[azizovsky]

Salut, une sorte d'équation différentielle d'Euler :http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...le_d'Euler

[invite7ae44db2]

bonjour

Regarde si r^n peut-être une des solutions

Cordialement

[lena9]

merci pour le lien, voila où est ce que j'en suis arrivé:
r^2*U''+r*U'+q^2*U=0 ...(1)
q^2=V''(téta)/V(téta) ..(2)
on pose r=exp(t) t>0
U(exp(t))=z(t)
z'(t)=exp(t)*u'(exp(t))
z''(t)=(exp(t))^2*u''(exp(t))+ exp(t)*u'(exp(t))
on remplace dans (1) on trouve:
(exp(t))^2*u''(exp(t))+exp(t)* u'(exp(t))+q^2*exp(t)
ce qui donne: z''(t)+q^2*z(t)=0 ==>
alors z(t)=A*exp(i*q*t)+B*exp(-i*q*t)

donc U(r)=A*r^(i*q)+B*r^(-i*q)

v(téta)=C*exp(q*téta)+D*exp(-q*téta)

et A(r,téta)=u(r)*v(téta)=[A*r^(i*q)+B*r^(-i*q)]*[C*exp(q*téta)+D*exp(-q*téta)] ...(3)

je dois faire la décomposition en série de fourier de l'équation 3 et arriver à ce résultat:
A(r,téta)=A10 +A20*ln(r)+ Somme (n=0 à n=infini) [(A1n*r^n+A2n*r^-n)*sin(n*téta)] + Somme (n=0 à n=infini)[(A3n*r^n+A4n*r^-n)*cos(n*téta)]

je bloque sur l'étape de décomposition en série de Fourier de l'équation (3) sachant que c'est une fonction à deux variables!!!


merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Doublon avec http://forums.futura-sciences.com/ma...variables.html