Equation différentielle du second ordre avec coefficients non constants

[invite6e4fd45c]

Bonjour,
Je souhaiterais résoudre une équation différentielle du second ordre mais je n'y arrive pas. Les coefficients ne sont pas constants et donc d'après mes recherches sur internet, il me faut trouver une solution triviale de l'équation homogène, et c'est là que ça bloque.

Voici l'équation en question :

d^2T/dxi^2 + 2*xi*dT/dxi + 4Kt/(rho*c)*T = 4Kt/(rho*c) * U

avec K, a et U des constantes.
Et sachant que xi = x/ (2*racine(lambda*t/(rho*c))
avec x la hauteur et t le temps. Ce qui fait que dans mon équation, j'ai deux variable : xi et le temps parce que je n'arrive pas à faire disparaître le temps t.

Est-ce que quelqu'un saurait m'aider svp
Merci d'avance !
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[invite63e767fa]

avec K, a et U des constantes.

Puisque rho et c ne sont pas dans ta liste des constantes, cela veut-il dire que rho et c sont des variables ?

Voici l'équation en question :
d^2T/dxi^2 + 2*xi*dT/dxi + 4Kt/(rho*c)*T = 4Kt/(rho*c) * U
avec K, a et U des constantes.

Bizarre, cette constante "a" qui est déclarée, mais qui n'apparait pas dans l'équation !

avec x la hauteur et t le temps. Ce qui fait que dans mon équation, j'ai deux variable : xi et le temps parce que je n'arrive pas à faire disparaître le temps t.

A partir du moment où l'on parle de "hauteur" et de "temps" on n'est plus dans les mathématiques, on est dans la physique.
C'est un indice de plus du fait que la modélisation du problème physique n'est pas proprement terminée.
Une modélisation bien faite aboutit à des listes claires :
- d'une part la liste des variables et la liste des constantes,
- d'autre part la liste des équations et la liste des inconnues. S'il y a plus d'inconnues que d'équations, c'est probablement que la modélisation n'est pas complète, ou que le problème physique est mal posé ou mal compris.

[invite6e4fd45c]

Exact, je me suis trompée dans la formulation.
Je recommence donc.

Voici l'équation en question :

d^2T/dxi^2 + 2*xi*dT/dxi + 4Kt/(rho*c)*T = 4Kt/(rho*c) * U
Sachant que xi = x/ (2*racine(lambda*t/(rho*c))

avec K, rho, c, lambda et U des constantes.
avec x la hauteur et t le temps.

Est-ce plus clair ?

Merci de vos remarques

[invite63e767fa]

avec K, rho, c, lambda et U des constantes.
avec x la hauteur et t le temps.
Est-ce plus clair ?

J'en déduis donc qu'il y a quatre variables : T, t, x, xi puisque ces symboles ne sont pas dans la nouvelle liste des constantes.
C'est un peu plus clair, mais pas encore assez pour tenter de localiser la difficulté rencontrée.
Il faudrait une liste claire des inconnues.

avec x la hauteur et t le temps.

La question étant de résoudre une équation comportant les symboles "x" et "t", peu importe quels sont les significations physiques de ces symboles. C'est une information superflue, mais peu importe alors. Ou bien, si cela a une importance pour la résolution en impliquant des conditions ( par exemple sur les plages de variations) il faut écrire sous forme mathématique ces conditions supplémentaires, si non la modélisation est incomplète.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6e4fd45c]

C'est cela, T, t, x et xi sont les quatres variables, xi=xi(t,x), et il n'y a pas de conditions sur x et t.

[invite63e767fa]

En résumé, si je comprends bien, il y a 2 équations et 4 variables.
Il faut maintenant en choisir deux parmi elles qui seront fonctions des deux autres.
Par exemple, voulez-vous trouver T=T(x,t) et xi=xi(x,t) ? Ce qui serait le plus simple puisque xi=xi(x,t) est déjà toute trouvée.
Mais ce n'est pas le seul choix possible.
En fait c'est ce choix qui manque pour que le problème soit bien posé.
Remarque : il pourrait aussi se faire que la modélisation soit incomplète et qu'une troisième équation n'ait pas été écrite. Au quel cas on pourrait exprimer trois des variables en fonction d'une seule autre. Mais, cela sort du cadre mathématique de la question.
Remarque : Tout ce qui précède est seulement pour bien poser le problème. Cela ne veut pas dire qu'ensuite il sera possible de le résoudre analytiquement.

[invite6e4fd45c]

Le but de la résolution de l'équation est de trouver T en fonction de x et de t, donc oui T=T(x,t).
On a aussi la condition limite en x=0 dT/dx=0.
Est-ce que ça suffirait ?
Merci pour tout !

[invite63e767fa]

J'ai une bonne et une mauvaise nouvelle.
La bonne, c'est que l'équation différentielle est résoluble analytiquement.
La mauvaise, c'est que l'expression des solutions est très compliquée. Elle fait intervenir les polynômes d'Hermite et les fonctions hypergéométriques confluentes.
Bien que je doute que cela puisse vous servir à quelque chose, la page jointe indique (sommairement) la démarche à suivre pour obtenir la forme analytique générale des fonctions T(x,t).

[invite63e767fa]

On a aussi la condition limite en x=0 dT/dx=0.

Sachant qu'il y a deux constantes C1 et C2 à calculer pour que la solution soit déterminée, il faudrait non pas une, mais deux conditions à la limite. Si vous les avez, on peut regarder si elles introduisent des particularités qui, par chance, entraîneraient des simplifications.
Mais, c'est sans optimisme...

[invite6e4fd45c]

Bonjour,
Merci beaucoup pour votre travail.
Juste une question : Comment avez-vous résolu cette équation ? Grâce à quel outil ?
En effet, l'expression est compliquée. Mon but final est de tracer T en fonction de x. Pensez-vous que c'est possible ?Comment est-ce que je pourrais m'y prendre ?
Sinon, j'ai d'autres conditions limites qui peuvent peut-être aider:
-pour x=xmax, dT/dx=0 avec xmax=constante.
-avec h=constante, tel que 0<h<xmax, I=[0;h] et II=[h;xmax]; pour x=h, T(x=h)(sur I)=T(x=h)(sur II) et dT(sur I)/dx pour (x=h)=dT(sur II)/dx pour (x=h)

Je ne sais pas si les deux dernières conditions peuvent servir à quelquel chose. En tout cas un grand merci à vous !

[invite6e4fd45c]

Pour la fonction de Kummer, qui est un peu "barbare", j'ai peut-être trouvé une simplification en utilisant la fonction erf(x) qui est égale à :
erf(x)=2x/racine(pi) * 1F1(1/2;3/2;-x^2)
En divisant 1F1(-beta/2;1/2;x^2) par 1F1(1/2;3/2;-x^2) ça nous donne un membre dans lequel x^(2n)/n! a disparu.
Si mon calcul est juste, peut-être que cela pourrait aidé ?

[invite63e767fa]

Bonjour,

Dans mon message précédent, j'ai noté à tort "pôlynome" d'Hermite au lieu de "fonction" d'Hermite. Excusez ce lapsus.
Compte-tenu des relations entre ces fonctions et les fonctions hypergéométriques confluentes, il aurait été plus simple d'en rester uniquement à ces fonctions (ou fonctions de Kummer), ce qui conduit à des écritures plus concises (voir les formules jointes).
Je n'ai pas regardé la question des conditions aux limites. Leur étude n'est pas simple et je doute que l'on aboutisse à une formule aisée à utiliser en pratique. De toute façons, il faudrait du calcul numérique pour évaler ces fonctions et faire les tracés que vous souhaitez.
A mon avis, il serait plus raisonnable d'envisager de reprendre complètement le problème, directemernt par du calcul numérique. La résolution d'équations différentielles par des méthodes de calcul numérique donne des résultats approchés très satisfaisants et avec moins de risque d'erreur grossière dans les transformations d'équations et le traitement des fonctions spéciales (fonctions du genre hypergéométrique, qui doivent pouvoir être calculées dans le domaine des complexes, bien que le résultat final soit réel)

[invite63e767fa]

Pour la fonction de Kummer, qui est un peu "barbare", j'ai peut-être trouvé une simplification en utilisant la fonction erf(x) qui est égale à :
erf(x)=2x/racine(pi) * 1F1(1/2;3/2;-x^2)
En divisant 1F1(-beta/2;1/2;x^2) par 1F1(1/2;3/2;-x^2) ça nous donne un membre dans lequel x^(2n)/n! a disparu.

Je ne pense pas qu'il soit si simple que cela de diviser deux fonctions 1F1 différentes. La division des developpement en série respectifs ne fait pas disparaître le terme général.
Quoi qu'il en soit, il me semble que cela ne simplifie pas grand chose, particulièrement lorqu'il s'agit ensuite de calculer la dérivée de T par rapport à x.
Néanmoins, du fait que le second paramètre de la fonction de Kummer est 1/2 , c'est un cas particulier qui peut s'exprimer avec une fonction de plus bas niveau : la fonction du "cylindre parabolique" (parabolic cylinder function). Mais je n'y voit pas grand intérêt pratique.

[invite6e4fd45c]

D'accord, vous avez certainement raison pour la fonction de Kummer.
Pour le polynome d'Hermite ou la fonction d'Hermite, pour vous Hbeta de x est bien égal à (-1)^beta * exp(x^2/2)* d(beta)/d(x^beta) * exp(-x^2/2) ? Pour moi, il s'agit du polynôme. Je ne vois pas ce qu'est la fonction d'Hermite.
Encore une question, pouvez vous me dire par quel moyen vous avez résolu l'équation différentielle ? J'aimerais être capable de le faire moi même une prochaine fois.
Merci

[invite6e4fd45c]

Dans la résolution de l'équation, il y a une erreur car vous avez écrit xi=2*x*racine(lambda*t/(rho*c)) et en fait on a xi=x/(2*racine(lambda*t/(rho*c))).
Ainsi t/(rho*c)=x^2/(4*lambda*xi^2)
Et quand on remplace t/(rho*c) dans l'équation il n'y a plus de 4 et l'équation devient si je ne me suis pas trompée :
d^2teta/dxi^2 + 2*xi*dteta/dxi + alpha/xi^2 * teta = 0
Du coup, la solution de l'équation ne doit plus être la même, n'est-ce pas ? Peut-être que ça peut donner quelque chose de plus simple ? (même si j'en doute)
Merci !

[invite6e4fd45c]

J'ai aussi des conditions limites beaucoup plus simple : T(x=0)=K1 et T(x=xmax)=K2 avec K1 et K2 des constantes.

[invite63e767fa]

Je ne vois pas ce qu'est la fonction d'Hermite.
Encore une question, pouvez vous me dire par quel moyen vous avez résolu l'équation différentielle ? J'aimerais être capable de le faire moi même une prochaine fois

Il ne s'agit pas vraiment de polynôme car le paramètre (en indice) n'est pas un entier en général.
La méthode que j'ai utilisée (après quelques simplifications d'écriture en la recopiant) est donnée en page jointe.

[invite63e767fa]

Dans la résolution de l'équation, il y a une erreur car vous avez écrit xi=2*x*racine(lambda*t/(rho*c)) et en fait on a xi=x/(2*racine(lambda*t/(rho*c))).

En effet, c'est une faute d'inattention. Cette erreur vraiment idiote a fait perdre beaucoup de temps, alors que c'était ultra-simple :
L'équation devient du genre des équations de Bessel. (Avec quelques transformations à faire bien entendu)
Vous devriez pouvour y arriver sans aide. Je ne dispose plus de temps actuellement.
Bon travail !

[invite6e4fd45c]

Merci pour tout ! Vous m'avez beaucoup aidé.
Je n'arrive pas à trouver le changement de variable pour tomber sur une équation de Bessel mais je vais continuer à chercher.
Bonne continuation et encore merci

[invite63e767fa]

Essayez (x^p)*F(q*x) cela devrait marcher en ajustant les paramètres p et q de telle sorte que F soit solution d'une équation de Bessel.

[invite6e4fd45c]

Je ne comprends pas bien ce que vous voulez dire.
Il faut que je prenne dans mon comme changement de variable X= (xi^p)*Teta(q*xi) ? C'est ce que vous voulez dire ?

[invite63e767fa]

Non, ce n'est pas un changement de variable, c'est un changement de fonction
thêta(xi)=(xi^p)*F(q*xi)
qui, reporté dans l'équa.diff. doit donner une équa.diff. de Bessel dont F serait solution.

[invite63e767fa]

Bonjour elodie_35

en reprenant ce problème avec plus de calme qu'avant hier où je ne disposais pas d'assez de temps pour l'étudier attentivement, je constate que ma supposition de possibilité de réduction à une équation de Bessel n'était pas fondée.
Je n'avais pas fait le calcul et je m'étais basé trop hativement sur seulement l'appréciation de la forme de l'équation.
En fait, en faisant le calcul, on retombe encore sur une équation de Kummer. Donc, il n'y a pas de simplification notable par rapport à ce qui avait été trouvé pour la première forme d'équation.
La seule différence est que la fonction de Kummer est multipliée par une fonction puissance au lieu d'une fonction exponentielle.

[invite6e4fd45c]

D'accord, c'est donc pour cela que j'étais bloquée.
merci !

[invite63e767fa]

Bonjour,

Le fait de tomber sur des fonctions de Kummer au lieu de fonctions de Bessel n'est pas vraiment un handicap.
Que ce soit l'une ou l'autre, on est dans des fonctions du genre hypergéométriques ( Kummer et Bessel sont respectivemenrt en relation avec les hypergéométriques 1F1 et 0F1)
Cela ne change pas grand chose en pratique : l'une comme l'autre s'évaluen par calcul numérique.