Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients variables

[invite3e9d9ecd]

Bonjour à tous,
Nous sommes en plein dans le chapitre des équa diff. J'ai bien assimilé le cours concernant les coefficients constants, mais j'avoue que j'éprouve un peu plus de difficulté face au coéfficient variable. Je suis face à un exercice qui me pose problème.

(E) : xy''(x)-(4x²+1)y'(x)+4x^3y(x)=4x^5
I= R+*

Posons: y(x) = z(x²)
Je ne vois pas comment démontrer cette relation.

1. Montrons que y est solution de (E) ssi z est solution de (E') à déterminer. (changement de variable x= racine de t

2. Résoudre (E') puis (E)

3. Résoudre (F) sur J=R-*

(F) : xy''(x)-(4x²+1)y'(x)+4x^3y(x)=4x^5
(changment de variable: x= - racine de t


Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider.
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[silk78]

Bonjour,

Posons: y(x) = z(x²)
Je ne vois pas comment démontrer cette relation.

Je ne vois pas ce qu'il y aurait à démontrer étant donné qu'on défini z comme ça (à la rigueur, on pourrait peut-être discuter sur l'existence de z, mais je ne pense pas qu'on te le demande).

1. Montrons que y est solution de (E) ssi z est solution de (E') à déterminer. (changement de variable x= racine de t)

Procédons par étape :
a) avec y(x)=z(x²), que valent y'(x) et y''(x) en fonction de x, de z et de ses dérivées
b) réécrire alors (E) en fonction de x, de z et de ses dérivées
c) en posant x=racine de t, réécrire (E) en fonction de t, de z et de ses dérivées (ce qui donnera (E'))

Le reste faudra voir après avoir trouvé (E')
Bon courage,
Silk

[invite3e9d9ecd]

Merci beaucoup Silk...

Montrons que y est solution de (E) ssi z est solution de (E’)
y(x)= z(x²)
y’(x)= 2xz’(x²)
y’’(x)=2z’+4x²z’’(x²)
(E) <=> x(2z’(x²)+4x²z’’(x²))-(4x²+1)2xz’(x²)+4x3z(x²)=4x5
(E’)<=> 4tz’’(t)-(4t+1)2√t z’(t)+ √t (1+4t)z(t)=8t√t
(équation différentielle du second ordre à coefficient variable)
Le problème c'est que je ne vois pas du tout comment faire pour résoudre ce genre d'équa diff...

[silk78]

Hmm, il y a un problème dans tes calculs. Les dérivées, je ne vois pas de problèmes il me semble mais à partir du moment où tu réinjectes dans (E), tu dois trouver des grosses simplifications (je viens de le faire), donc t'as du te gourer quelque part : déjà, je vois pas comment tu arrives à quelque chose en 1+4t pour le coeff de z, et logiquement, y a un truc qui se simplifie dans les z'.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e9d9ecd]

Effectivement il y a d'énorme simplifications...
Finalemenent, je trouve
SE’={C1texp(t)+C2exp(t)+t+2 tel (C1; C2) appartiennent à R²}

Pour avoir SE: il me suffit de remplacer t par x² dans SE'?

Pour la dernière question je ne vois pas vraiment ce qui change de (E)... sachant que : x²=(-racine de t)²= t

[silk78]

Pour trouver y, comme tu as z(t) et que y(x)=z(x²), oui tu remplaces les t par x².

Sinon pour la deuxième équation, y a pas grand chose qui change à part que comme x est négatif, on a x = - racine (x²) donc faut faire exactement la même chose sauf qu'à chaque fois, tu remplaces x par - racine(t).

[invite3e9d9ecd]

Le "problème" c'est : ayant des carrés, le signe - disparait et on se retrouve avec la même forme que pour E.
Je m'explique:
(E): z''(x²)-2z'(x²)+z(x²)=x²
(E'):z''(t)-2z'(t)+z(t)=t

(F'): on retrouve (E')... à moins que je ne me trompe...

Car x²=(-racine de t)²=t

[silk78]

J'avoue que j'ai pas fait le calcul, mais il est possible et même probable qu'à la fin on trouve la même équation, mais si on avait utiliser racine de t au lieu de - racine de t la démonstration aurait été fausse car on aurait fait un truc mathématiquement incorrect (dire qu'un truc négatif est égale à une racine), après ça ne change pas le résultat.

[invite3e9d9ecd]

ok...
Merci encore pour ton aide...