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Équation différentielle du 1er ordre non linéaire



  1. #1
    dnegel

    Question Équation différentielle du 1er ordre non linéaire


    ------

    Bonjour,
    Je rencontre un problème pour démarrer un devoir, en voici l'énoncé :

    Soit I un intervalle de . On note l'équation différentielle . On rappelle qu'une fonction f appartenant à est une solution sur I de si elle vérifie pour tout x I.

    Q1) Soit f une solution sur I de ; montrer qu'une et une seule des deux affirmations suivantes est vraie :
    (1) pour tout x I,
    (2) pour tout x I,

    Ma question: Si veut dire que f est dérivable sur I dans , alors la (2) ne peut pas être vraie car :
    (2)
    sauf que je connais pas la signification de ce
    Et si ce que je viens de dire est faux, alors je ne vois pas comment répondre à la question...

    Après, il y a Q2) Montrer que, si f est une solution sur I de , alors
    Je ne vois pas comment m'y prendre. Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    -----

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  3. #2
    dnegel

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    Up!

    Pour la 1, quelqu'un peut me confirmer que ce veut bien dire que f est dérivable sur I dans R*+ ?
    Et la 2, une piste à suivre ?

  4. #3
    Garnet

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    Citation Envoyé par dnegel Voir le message
    Up!

    Pour la 1, quelqu'un peut me confirmer que ce veut bien dire que f est dérivable sur I dans R*+ ?
    Et la 2, une piste à suivre ?
    Oui c'est bien l'ensemble des fonction dérivables définies sur à valeur dans , et ce n'est pas en contradiction avec dérivée négative !!!!

    Pour Q2) démontre par récurrence sur que f est

  5. #4
    dnegel

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    Merci, j'ai réussi pour Q2, mais Q1 me reste en travers, je ne vois aucune indication qui permette de conclure ?!

  6. #5
    God's Breath

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    La fonction f peut-elle décemment prendre la valeur 1 ?
    Qu'en déduire ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    dnegel

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    La fonction f peut-elle décemment prendre la valeur 1 ?
    Qu'en déduire ?
    Qu'entends-tu par "décemment" ?
    Si f prend la valeur 1, alors le logarithme est nul, donc ce n'est pas une solution de l'équa diff. Mais qu'en déduire ?

    Si f>1, alors le logarithme est positif, la dévirée doit être positive pour "avoir une chance" que le produit du logarithme et de la dérivée vaille 1, et inversement : tout le monde négatif si f<1.

    Je pédale dans le vide...

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  10. #7
    God's Breath

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    A partir du moment où la fonction ne peut pas prendre la valeur 1, le théorème des valeurs intermédiaires te conduit facilement à l'alternative de la fonction 1.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #8
    God's Breath

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    En fait tu as deux types de solutions :
    – des fonctions définies de dans , à dérivées strictement positives donc strictement croissantes ;
    – des fonctions définies de dans , à dérivées strictement négatives donc strictement décroissantes.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    dnegel

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    D'accord. Mais si j'ai bien compris ce que tu me dis et ce que dit aussi l'énoncé, ne devrait-il pas y avoir seulement comme solutions de , les seules fonctions définies de dans , à dérivées strictement positives ? Là, on trouve qu'aucune des deux affirmations n'est vraie ?!

  13. #10
    God's Breath

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    Citation Envoyé par dnegel Voir le message
    Q1) Soit f une solution sur I de ; montrer qu'une et une seule des deux affirmations suivantes est vraie :
    (1) pour tout x I,
    (2) pour tout x I,
    Le résultat demandé est : une solution sur de satisfait une seul des affirmations (1) et (2) ; il est effectivement difficile que les deux affirmations soient vraies pour une solution .

    Par contre, il peut se faire, que pour des solutions distinctes et , ce ne soit pas la même affirmation qui soit vraie.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #11
    dnegel

    Re : Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

    Ah d'accord!! Je viens de comprendre l'intérêt de la question !
    Je cherchais à ce que pour toute fonction respecte l'une ou l'autre des affirmations, je ne m'imaginais pas avoir certaines fonctions qui remplissent une condition, et d'autres une autre.

    Mille mercis à vous, je vais finir mon DM...

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