Équation différentielle du 1er ordre non linéaire

[invite2305bc56]

Bonjour,
Je rencontre un problème pour démarrer un devoir, en voici l'énoncé :

Soit I un intervalle de . On note l'équation différentielle . On rappelle qu'une fonction f appartenant à est une solution sur I de si elle vérifie pour tout x I.

Q1) Soit f une solution sur I de ; montrer qu'une et une seule des deux affirmations suivantes est vraie :
(1) pour tout x I,
(2) pour tout x I,

Ma question: Si veut dire que f est dérivable sur I dans , alors la (2) ne peut pas être vraie car :
(2)
sauf que je connais pas la signification de ce
Et si ce que je viens de dire est faux, alors je ne vois pas comment répondre à la question...

Après, il y a Q2) Montrer que, si f est une solution sur I de , alors
Je ne vois pas comment m'y prendre. Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
-----

[invite2305bc56]

Up!

Pour la 1, quelqu'un peut me confirmer que ce veut bien dire que f est dérivable sur I dans R*+ ?
Et la 2, une piste à suivre ?

[invitea41c27c1]

Up!

Pour la 1, quelqu'un peut me confirmer que ce veut bien dire que f est dérivable sur I dans R*+ ?
Et la 2, une piste à suivre ?

Oui c'est bien l'ensemble des fonction dérivables définies sur à valeur dans , et ce n'est pas en contradiction avec dérivée négative !!!!

Pour Q2) démontre par récurrence sur que f est

[invite2305bc56]

Merci, j'ai réussi pour Q2, mais Q1 me reste en travers, je ne vois aucune indication qui permette de conclure ?!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

La fonction f peut-elle décemment prendre la valeur 1 ?
Qu'en déduire ?

[invite2305bc56]

La fonction f peut-elle décemment prendre la valeur 1 ?
Qu'en déduire ?

Qu'entends-tu par "décemment" ?
Si f prend la valeur 1, alors le logarithme est nul, donc ce n'est pas une solution de l'équa diff. Mais qu'en déduire ?

Si f>1, alors le logarithme est positif, la dévirée doit être positive pour "avoir une chance" que le produit du logarithme et de la dérivée vaille 1, et inversement : tout le monde négatif si f<1.

Je pédale dans le vide...

[invite57a1e779]

A partir du moment où la fonction ne peut pas prendre la valeur 1, le théorème des valeurs intermédiaires te conduit facilement à l'alternative de la fonction 1.

[invite57a1e779]

En fait tu as deux types de solutions :
– des fonctions définies de dans , à dérivées strictement positives donc strictement croissantes ;
– des fonctions définies de dans , à dérivées strictement négatives donc strictement décroissantes.

[invite2305bc56]

D'accord. Mais si j'ai bien compris ce que tu me dis et ce que dit aussi l'énoncé, ne devrait-il pas y avoir seulement comme solutions de , les seules fonctions définies de dans , à dérivées strictement positives ? Là, on trouve qu'aucune des deux affirmations n'est vraie ?!

[invite57a1e779]

Q1) Soit f une solution sur I de ; montrer qu'une et une seule des deux affirmations suivantes est vraie :
(1) pour tout x I,
(2) pour tout x I,

Le résultat demandé est : une solution sur de satisfait une seul des affirmations (1) et (2) ; il est effectivement difficile que les deux affirmations soient vraies pour une solution .

Par contre, il peut se faire, que pour des solutions distinctes et , ce ne soit pas la même affirmation qui soit vraie.

[invite2305bc56]

Ah d'accord!! Je viens de comprendre l'intérêt de la question !
Je cherchais à ce que pour toute fonction respecte l'une ou l'autre des affirmations, je ne m'imaginais pas avoir certaines fonctions qui remplissent une condition, et d'autres une autre.

Mille mercis à vous, je vais finir mon DM...