L'inversion

[invite3e9d9ecd]

Bonjour à tous,
Je suis face à un exercice qui me pose beaucoup de difficulté dans la mesure où je découvre l’inversion… Quelqu’un pourrais t-il m’éclairer ?
P : plan affine
O un point de P
P*=P\{O}
P est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
K est un réel strictement positif
On appelle inversion de centre O et de rapport k l’application i de P* vers lui-même qui au point M associe le point M’ tel que : OM’(vecteur) = k OM (vecteur) / OM²
1. J’ai réussi à faire la première question qui me demandais de déterminer les points invariants de i.
OM=kOM/OM²
OM scalaire OM=(k OM/OM²)scalaire OM
OM²=k OM²/OM²
OM²=k
donc c’est un cercle de centre O et de rayon racine de k.

2. Ensuite, on me demande de montrer que i est une involution de P* :
J’arrive à démarrer mais pas vraiment à répondre à la question…

i[OM’]=k OM’/OM²
et je veux arriver à : OM’’=OM


3. Là les choses commencent à se gâter …
M , de coordonnées cartésiennes (x ;y) et de coordonnées polaire (théta ; rho), est un point de P*.
On me demande de donner les coordonnées cartésiennes et polaires de M’=i(M) en fonction de celle de M.


4. Je sais que l’image, noté i (T) par l’application i d’un sous ensemble gama du plan est l’ensemble des images par i des points de Gama .
I (T)= {i(M) tel que M appartiennent à gama}.

a. D est un droite passant par O privée de O.
Je dois montrer que l’image de D par l’inversion i est elle-même.

b. D ne passe pas par O.
Je dois montrer que l’image de D par l’inversion de i est incluse dans un cercle passant par O privé de O.
Ensuite, il faut préciser la position de la droite passant par O et le centre de ce cercle relativement à D.
Enfin, il faut montrer que l’image de D est égale à ce cercle privé de O.

c. Montrons que l’image d’un cercle C passant par O privé de O est un droite ne passant pas par O et précisons la direction de cette droite.
d. Montrons que l’image d’uncercle de centre oméga ne passant pas par O est un cercle de centre oméga’ ne passant pas par O. Que peut on dire de O, Oméga et oméga’ ?


5. Si M’ et N’ sont les images de M et N par l’inversion i, montrons que :
M’N’= k MN/ (OM*ON).


Merci d’avance à ceux qui prendront un peu de leur temps pour me donner un coup de main…
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[invitea6816ba4]

Bonjour

i[OM’]=k OM’/OM²[
ce calcul est faux tu dois remplacer OM² par OM’².
si tu développe les calculs tu y arriveras.

On me demande de donner les coordonnées cartésiennes et polaires de M’=i(M) en fonction de celle de M.

Il suffit de remplacer OM par son expression dans la base de projection voulue est de calculer le vecteur OM’.


a. D est un droite passant par O privée de O.
Je dois montrer que l’image de D par l’inversion i est elle-même.

il suffit de caractériser les élements d'une droite par un vecteur directeur que tu vas fixer.
ca va donnera une inclusion.
pour l'inclusion réciproque,utilise le fait que c'est une involution.

c. Montrons que l’image d’un cercle C passant par O privé de O est un droite ne passant pas par O et précisons la direction de cette droite.
Passe en coordonnées cartésienne .

Je pense que tu peux continuer ce problème tout seul.

[invited5b2473a]

5) Fais un dessin et utilise un théorème vu en troisième...

[invitefacf6548]

Bonjour je suis en MPSI et j'ai le même genre de problème .
Demande moi si tu as besoin je pourrais peut être t'aider sur certaines des questions .
Indian58 par contre je pense avoir une idée de ta méthode mais pourrais tu l'expliciter plus car je ne vois pas trop comment démarrer .

Merci d'avance .

[A voir en vidéo sur Futura]