Bonjour à tous,
J'ai une question au sujet d'une démonstration de l'égalité de Parseval dont le début est visible sur cette photo. Je ne comprends pas l'argument le "théorème de Pythagore donne" ou plus exactement je n'arrive pas à montrer que Sn(f), une somme partielle de Fourier de f, et f sont orthogonaux. Si quelqu'un pouvait donc m'expliquer cette la première égalité, cela m'aiderait beaucoup.
Merci à tous,
Bonjour,
C'est normal, puisque Sn(f) et f ne sont pas orthogonaux... mais f-Sn(f) et Sn(f) le sont.Envoyé par Jack75014
Si tu utilises correctement le théorème de Pythagore, ||f-Sn(f)||^2 et ||Sn(f)||^2 sont les carrés des cathètes dont la somme ||f||^2 est le carré de l'hypothénuse.
Merci pour votre réponse,
Pourriez-vous du coup expliquer pourquoi f-Sn(f) et Sn(f) le sont ?
Vous semblez suggérer que l'explication peut être vue géométriquement mais je n'arrive pas à me représenter cela. Par ailleurs, en essayant de calculer ( f-Sn(f) | Sn(f) ), je ne trouve pas. C'est assez frustrant car je suis convaincu de passer à côté de quelque chose d'important en ne comprenant pas les enjeux d'orthogonalité dans l'approximation des fonctions via séries de Fourier.
Merci encore pour votre aide !
La série de Fourier est définie par projection orthogonale.
Les coefficients de Fourier sont définis par des produits scalaires:
ce sont donc les coordonnées de la projection orthogonalesur le sous-espace vectoriel
Lorsqu'on décompose
Je reviens sur ce calcul. Tout est basé sur le produit scalaire des exponentielles données par le symbole de Kronecker :
Ensuite, il faut y aller progressivement.
Pour
donc :
