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[Keisersoze]

bonjour,

je bloque sur l'exercice suivant:

Montrer pour tout n dans N* , Un₊₁² < ou = à Un*sqr(2) +1

sachant que Un=sqr(1+sqr(2+sqr(3...+sqr(n) )))...)

merci des solutions ou indices.
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[Wombozo]

Bonjour,

As tu essayé par récurrence ?

[Keisersoze]

bien sur mais je bloque sur l'hérédité

[Wombozo]

Mmh je pense avoir trouvé (raisonnement direct sans recurrence a priori):

Si tu exprimes (un+1)² ca te donne (un+1)² = 1 + sqrt(2 + sqrt(3+sqrt(...+sqrt(n+sqrt(n+ 1))..)))
du coup (un+1)²-1 = sqrt(2 + sqrt(3+sqrt(...+sqrt(n+sqrt(n+ 1))..))) (pareil sans le 1+ devant)

il te reste plus qu'a majorer cette expression par un*sqrt(2)

Or si tu exprimes un*sqrt(2) = sqrt( 2 + 2*sqrt(2+sqrt(3+sqrt(...+sqrt( n+sqrt(n+1))..)))

=sqrt(2 + sqrt(2*2² + 2²sqrt(3+sqrt(...+sqrt(n+sqrt( n+1))..)))
et tu rentres successivements les puissances de 2 ca peut fonctionner à mon avis. Juste a exprimer un*sqrt(2) correctement ou tu "rentres les puissances de 2" jusqu'a la derniere racine. A priori la majoration sera evidente..

Dis moi si tu trouves grace a cette piste

[A voir en vidéo sur Futura]

[Keisersoze]

avec cette piste j'ai du mal à faire une justification propre de l'inégalité.

on arrive d'une part à sqr(2+sqr(3+...sqr(n+1))...) qu'il faut majorer par sqr(2+sqr(2²*3+...sqr(2^(n-1)*n))...)

peut etre qu'il faut que je montre juste que pour n>2 on a 2^n-1*n > n + sqr(n+1)

puis on sqr(2+sqr(3+...sqr(n+sqr(n+1)) ...)<sqr(2+sqr(3+...sqr(2^(n-1)*n)...)<sqr(2+sqr(2²*3+....sqr (2^(n-1)*n)...)

en ajoutant 1 on alors l'inégalité voulue qu'on peut vérifier pour n=1 pour l'avoir sur N*

[Wombozo]

en ajoutant 1 on alors l'inégalité voulue qu'on peut vérifier pour n=1 pour l'avoir sur N*

Oublie pas que le +1 a déjà été considéré dans le raisonnement.

Effectivement intuitivement la majoration est évidente.. Je sais pas si c'est vraiment rigoureux mais je vois pas vraiment comment le justifier de manière plus précise..