Probabilité d'avoir 2 chiffres identiques dans 3 codes à 4 chiffres
Hello,
Je voudrais vérifier mon raisonnement, je cherche la probabilité suivante :
Si on génère 3 codes aléatoires de 4 chiffres chacun (de 0 à 9).
Quel est là proba que les 3 codes contiennent (au moins ) une paire de chiffres identiques (sans ordre)
Par exemple ici le 5 et le 4 sont au moins présents une fois dans chaque code :
4654
9475
5554
C'est très loin les proba pour moi, c'est juste pour le fun
Merci pour vos lumières.
Bonjour
A vue de nez C{7,9} x C{4 2}^3 x C{2,9} / (9^12)
Bon si ca ressemble à ta formule tant mieux
Dernière modification par PhilTheGap ; 20/02/2017 à 13h59.
Salut Phil, d'où tu sors tes formules?
Je fais remonter le fil car je bloque sur ce problème.
J'ai commencé par le commencement, par me demander quelle était au bout de deux tirages seulement la probabilité d'avoir un couplet de deux nombres de la forme abcd avec a,b,c et d différents deux à deux.
Pour obtenir un nombre de la forme abcd, par ex: 0123, 3210, 1583, 2017 etc... il y a A(10,4) tirages, soit 5040.
Pour obtenir au deuxième tirage un nombre ayant au moins une paire de chiffres commun avec le premier nombre tiré précédemment, j'ai trouvé 1296 possibilités.
Exemple: premier tirage 0123, deuxième tirage 01XY, 0X1Y, X01Y, 0XY1, X0Y1, XY01, et on recommence avec le couple {0;2} jusqu'au couple {2;3} avec X et Y choisis dans {4;5;6;7;8;9}
Bref j'obtiens 1296 possbilités.
Au final une probabilité P=(5040/10000)*(1296/10000)=0,065 d'obtenir au premier tirage un nombre de la forme abcd et au deuxième tirage un nombre ayant au moins deux chiffres en commun.
Ensuite il faut dresser les mêmes probabilités pour les premiers tirages de la forme aabc, abac, abca, etc...
Bref ça me parait trop compliqué au vu de la simplicité de l'énoncé.
Bon effectivement le problème me semble bien plus compliqué qu'il n'y parait en fait...
A part les 10^12 possibilité pour les 3 codes (en tout, nous sommes d'accord sur ça au moins?)
Ensuite, le dénombrement me parait difficile. Même le dénombrement du cas complémentaire est assez casse g....
S'il y a un petit génie du dénombrement qui passe par ici ...
Bon je ne vais pas jouer les Pierre Fermat et vous laisser dans la panade. Ma formule était fausse, et je m'en vais la corriger. Mais possible qu'elle reste fausse !
Je vais supposer le couple des deux chiffres différent, c'est bcp plus simple.
Le couple est à prendre parmi les dix chiffres de 0 à 10. Donc il y apossibilités. Le nombre de possibilités de placer ces deux chiffres dans un quadruplet est
Le nombre de tirages total est évidemment
D'où je tire
Dernière modification par PhilTheGap ; 27/02/2017 à 14h49.
En fait c'est 0.24 je crois
Pour les trois codes je suis 100% OK, mais ça c'est juste l'amuse-gueule...
Moi j'ai découpé un tirage en partitions suivant le type de nombre obtenu, j'ai donc 5 partitions:
P1=abcd => les nombre du genre 0123, 1234, 4236 dont chaque chiffre est distinct.
P2=aabc => les nombres avec une répétition.
P3=aabb => les nombres avec une double répétition.
P4=aaab => les nombres avec 3 répétitions.
P5=aaaa => {0000; 1111; 2222; ... ;9999}
Alors attention, pour chaque partition ( ou classe) il faut dénombrer toutes les arrangements, par exemple pour P2, P2 contient {aabc; abac; abca; baca, baac, bcaa}
Voici les cardinaux:
Card(P1)=5040, Card(P2)=4320, Card(P3)=270, Card(P4)=360 et Card(P5)=10 et la somme des cardinaux nous donne 10 000, ouf....
De là, j'ai ensuite dénombré, pour chaque classe, les nombres qui ne remplissent pas la condition, ie qui ont 1 chiffre en commun ou aucun.
Je suis donc parti de la condition opposée, plus facile à dénombrer.
Par exemple pour P1 (du type abcd), je trouve qu'il y a au second tirage, 1296 nombres avec aucun chiffre en commun, 3456 nombres avec au moins un chiffre en commun.
Ce que je ne sais pas faire, c'est l'assemblage final pour calculer la loi de probabilité...
Le problème c'est que tu ne comptes pas les nombres avec répétition du genre 4545, 7070, et pire, les nombres avec trois répétitions comme 0007, 1666 sont exclus du calcul.Envoyé par PhilTheGap
Bon je ne vais pas jouer les Pierre Fermat et vous laisser dans la panade. Ma formule était fausse, et je m'en vais la corriger. Mais possible qu'elle reste fausse !
Je vais supposer le couple des deux chiffres différent, c'est bcp plus simple.
Le couple est à prendre parmi les dix chiffres de 0 à 10. Donc il y a
Le nombre de tirages total est évidemment
D'où je tire
Ne pas tenir compte du dernier message.
C'est plutot les paires non distinctes qui posent problème: tu ne comptabilises pas les tirages du genre {1671; 1617;1176} comme ayant une paire commune.
