Probleme de probabilités

[RomVi]

Bonjour

J'aimerai calculer la probabilité d'obtenir une certaine répartition lors d'un tirage. Prenons un exemple simple : Dans une population supposée très grande (> 10 millions) 30% des individus possèdent une caractéristique que l'on étudie. On effectue un tirage aléatoire dans cette population, et on dénombre alors 70% d'individus présentant cette caractéristique.
Mon problème est d'arriver à exprimer la probabilité d'obtenir 70% en fonction de la taille de l’échantillonnage (5 individus, 30, 100...)
Est-ce que quelqu'un pourrait me renseigner ?

En vous remerciant d'avance.
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[invite45ce0c2b]

On utilise la loi binomial(n,p) avec p=0.3 .
La probabilité d'obtenir une proportion de 70% avec un échantillon de n individus est :
binomial(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
avec k = 0.7 * n
et n=5 ou 30 ou 100...

[RomVi]

Merci pour cette réponse, mais je ne suis pas sur de comprendre le calcul littéral.
Pourrais tu me calculer un exemple avec 10 individus ?

[invite45ce0c2b]

Dans la formule, pour n=10 , on a donc k=7 :
il faut calculer binomial(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) , ce qui donne 0.009 .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0b618583]

Suivant le contexte et la précision voulue tu peux approximer la binomiale par une loi normale si n est "grand". Pour n>30 il y a des chances que ce soit numériquement plus précis (car le calcul exact de p^20 va devenir délicat).

[RomVi]

Dans la formule, pour n=10 , on a donc k=7 :
il faut calculer binomial(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) , ce qui donne 0.009 .

Merci, mais je ne comprend toujours pas ce que tu appelles "binomial(n,k)", s'agit il d'une table ?

Suivant le contexte et la précision voulue tu peux approximer la binomiale par une loi normale si n est "grand". Pour n>30 il y a des chances que ce soit numériquement plus précis (car le calcul exact de p^20 va devenir délicat).

Merci pour cette autre réponse. Dans ce cas quel serait le calcul, disons pour n=80 ?

[gg0]

Bonjour.

"Binomial(n,k)" désigne le coefficient du binôme :

Où n! est la factorielle de n : le produit de tous les entiers de 1 à n (5!=5-*4*3*2*1; 1!=1; 0!=1 par convention).

Cordialement.

NB : On trouve tout ça dans des cours élémentaires de probabilités.

[invite0b618583]

On approxime la loi Binomiale B(n,p) par une loi normale d'espérance np et de variance np(1-p).

Une petite explication assez simple : http://michel.brissaud.pagesperso-or...le-centree.pdf
Sinon des vidéos youtube existe aussi https://www.youtube.com/watch?v=uxXtgTGbVr4

[RomVi]

Bonjour.

"Binomial(n,k)" désigne le coefficient du binôme :

Où n! est la factorielle de n : le produit de tous les entiers de 1 à n (5!=5-*4*3*2*1; 1!=1; 0!=1 par convention).

Cordialement.

NB : On trouve tout ça dans des cours élémentaires de probabilités.

Merci pour cette précision. C'est quelque chose que j'ai du voir, mais il y a environ 30 ans et je ne l'ai plus utilisé ensuite...

On approxime la loi Binomiale B(n,p) par une loi normale d'espérance np et de variance np(1-p).

Une petite explication assez simple : http://michel.brissaud.pagesperso-or...le-centree.pdf
Sinon des vidéos youtube existe aussi https://www.youtube.com/watch?v=uxXtgTGbVr4

Merci, je vais regarder ces liens.

[invite9dc7b526]

Typiquement en statistiques on ne va pas s'intéresser à la probabilité d'avoir obtenu exactement 70 succès sur 100 tirages (si n=100) mais plutôt à la probabilité d'avoir obtenu au moins 70 succès (c'est-à-dire la probabilité d'avoir obtenu un résultat aussi mauvais que 70 ou plus mauvais). C'est parce que quand n augmente, la probabilité d'un événement élémentaire (comme X=0.7n) diminue, et c'est vrai aussi de P(X=0.3n) donc on ne peut tirer de conclusion du fait que cette probabilité est petite.