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100! chez les kangourous



  1. #1
    Conan

    Salut à tous (premier post),

    J'ai vu dans le concours kangourou 5e 6e qu'il fallait trouver le dernier chiffre non nul de 100! (factoriel 100) sans utiliser la calculatrice ! Je vois pas du tout comment faire, si quelqu'un peut m'aider j'en serait ravi...

    Pour info la réponse est 4 (avec une TI89)
    Ils sont fous chez kangourou !!!

    ++ Conan

    -----

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  3. #2
    Jackyzgood

    Salut

    Alors je pense qu'il faut procéder ainsi :

    100! = 1x2x3x...x10x(10+1)x(10+2)x...

    Donc on voit bien que pour le dernier chiffre non nul la sequence est :

    1x2x3x4x5x6x7x8x9x1x2x3x4x5x6x 7x8x9.......

    En fait c'est : (1x2x3x4x5x6x7x8x9)^10

    calculer ca : 1x2x3x4x5x6x7x8x9 est raisonnable et on trouve : 362880
    On a donc : 362880^10 = (300000+60000+2000+800+80)^10= ((30000+6000+200+80+8)x10)^10

    Le dernier chiffre non nul sera donc 8^10= (2^3)^10=(2^10)^3

    Or on sait (valeur a connaitre, surtout pour les fous d'info) 2^10=1024

    Donc le dernier chiffre est 4^3=4x4x4=16x4=64

    onc voila le dernier chiffre est 4

    TADA !!

  4. #3
    Conan

    Merci Jackysgood de t'attaquer au problème !! Malheureusement je crois bien que ton raisonnement a une petite faille au moment de passer du reste de 100! à (10!)^10

    Le reste du calcul est vraiment bien mené

    15! = 1307674368000
    mais (10!)*2*3*4*5 = 435456000
    Je crois bien que c'est un contre-exemple

    ++ Conan

  5. #4
    curieux

    Hélas hélas
    pas moyen de faire propre!!

    A moins d'y passer beaucoup de temps ou d'être super doué (mais ne pas oublier que cette question ne cherchait qu'à départager des ex-aequo...).

    Le raisonnement de Jackyzgood ne marche pas car
    1) il oublie de tenir compte du dernier chiffre non nul du produit 10*20*30*...*90

    2) le dernier chiffre non nul de la séquence 1*2*3*4*5*6*7*8*9 est bien 8
    mais celui de 11*12*13*14*15*17*17*18*19 est de 4 (le fait de faire intervenir 2 et 5 fausse les résultats car 2*5=10 mais 12*15=180)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jackyzgood

    Salut

    Tu as mal compris, je suis entierement d'accord avec le fait que
    100!=10!x10 ne marche pas !

    mais ce qui nous interesse c'est le dernier chiffre !

    Je reprends :
    100! = 1x2x3x...x10x(10+1)x(10+2)x...

    Donc si tu veux trouver le dernier chiffre non nul il faut que tu fasse :
    (1x2x3x4x5x6x7x8x9)x(1x2x3x4x5 x6x7x8x9).......

    en fait tu prends uniquement les unitées de chaque chiffres et tu les multiplie. Donc tu trouve 10 fois le groupe : 1x2x3x4x5x6x7x8x9
    donc on a bien : le dernier chiffre = (1x2x3x4x5x6x7x8x9)^10

    mais cela ne nous donnera juste la contribution du chiffre des unitées.

  8. #6
    curieux

    Jackysgood, que penses-tu de mes objections? Elle me semblent fondées non?

    Autrement une démonstration lourde, lourde, lourde:
    Eliminons les nombres à problème, laissons de côté pour l'instant
    2;12;22;32;42;52;62;72;82;92;2 0
    5;15;25;35;45;55;65;75;85;95;5 0
    et traitons les autres
    il y en a 12 dont le dernier chiffre non nul est 1 (1;11;..91;10;100)
    il y en à 11 dont le dernier chiffre non nul est 3 (3;13;..;93;30)
    il y en a 11 dont le dernier chiffre non nul est 4
    il y en a 11 dont le dernier chiffre non nul est 6
    il y en a 11 dont le dernier chiffre non nul est 7
    il y en a 11 dont le dernier chiffre non nul est 8
    il y en a 11 dont le dernier chiffre non nul est 9

    on peut éliminer les 12 qui se terminent par 1
    on peut associer les 11 qui se terminent par 7 avec les 11 qui se terminent par 3 (car 3*7 se termine par 1)
    on peut associer les 4 avec les 8 (se termine par 2), les 6 avec les 9 (se termine par 4) et dire qu'on se trouve avec 11 produits se terminant par 8
    8^3 se termine par 2
    8^3*8^3^8^3*8^2 a même terminaison que 2*2*2*4 donc se termine par 2

    On associe alors les nombres qu'on a éliminé
    2*5 se termine par 1
    22*15 a même terminaison que 11*3
    12*25 a même terminaison que 3*1
    32*35 a même terminaison que 16*7
    42*45 a même terminaison que 21*9
    52*55 a même terminaison que 26*11
    62*65 a même terminaison que 31*13
    72*75 a même terminaison que 18*3
    82*85 a même terminaison que 41*17
    92*95 a même terminaison que 46*19
    On barre les 1, on apparie les 3 et les 7, les 9 entre eux
    le produit des nombres laissés en rade a même terminaison que 3*6*6*6*3*8 , a même terminaison que 3*6*3*9 , se termine par 2

    le nombre final se termine par 4 (mais j'ai pris environ le temps imparti pour l'épreuve (50 min)
    Donc si quelqu'un a une astuce....

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  10. #7
    Conan

    salut,

    Merci pour ta réponse curieux, je crois bien que tu m'a convaincu !! T'es une star en fait

    ++ Conan

  11. #8
    citrouille

    Bonjour,
    je ne voudrais pas trop m'avancer, mais si on prend le problème à l'envers, on tombe, me semble-t-il sur une série de 100 multiplications à 1 chiffre, ce qui implique juste de revoir ses tables!
    Donc, si on part de 100! = 100*99*98*97*96........*3*2*1, il suffit de multiplier juste les derniers chiffres!

    99*100 = 9900
    9900*98 = je sais pas, mais ça finit par le dernier chiffre de 8*9, les 0 en moins, soit 2 (de 72)
    ensuite ben 2*7 (de 97) = 4 (de 14)
    puis 4*6, etc...

    Quand on arrive à un mutiple de 10, par exemple 70, on multiplie par 7 et pas par 0, bien sûr!

    Je vous avoue que je ne suis pas descendu au bout du résultat... Mais il y en a pour 10 minutes, à tout casser, non?

    (Me suis peut-être trompé, hein, désolé ! )

  12. #9
    Conan

    salut Citrouille,

    Cette méthode ne fonctionne malheureusement pas.
    Je te donne un contre-exemple pour le prouver :
    99*98*97*96*95=8582777280, on a 8
    mais 9*8=72, 2*7=14, 4*6=24, 5*4=20 on a 2

    Je ne crois pas m'être trompé
    ++ Conan

  13. #10
    citrouille

    Ah, oui, vu comme ça, ça marche pas... Il faut partir de 100, pour avoir les zéros qui tombent, et là, ça va tout de suite mieux!
    Parce que 100*99*98*97*96*95 = 858277728000 donc 2
    et on a 1 (de 100) *9 = 9
    9*8=>2
    2*7=>4
    4*6=>4
    4*5=>2 (ouf... )

    C'est mieux comme ça?

  14. #11
    Conan

    Citrouille a dit :
    Parce que 100*99*98*97*96*95 = 858277728000 donc 2

    Je ne vois pas d'ou sort ton 2. Je vois plutôt un 8, non?

    ++ Conan

  15. #12
    citrouille


    Je suis attéré par mon propre aveuglement....
    Je vais me repencher sur la question..
    Désolé! ops:

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  17. #13
    shokin

    Salut tout le monde, pour ma part je dirais que :

    de 1 à 100, 10 nombres qui se terminent par 2 et dix nombres qui se terminent par 5, ce qui donne déjà 10 zéros à la fin.

    il y a aussi dix nombres qui se terminent par 0, ce qui fait 10 zéros de plus. Nous en sommes à 20 zéros.

    Comme les nombres restants ne sont pas des multiples de 5, leur produit ne sera pas multiple de 10. Reste alors à multiplier leurs chiffres respectifs des unités :

    (1*3*4*6*7*8*9)^10

    1*3*4*6*7*8*9=36288 dont le dernier chiffre est 8

    d'où 8^10=1073741284 dont le chiffre des unités est 4.

    Le chiffre non nul le plus à droite est donc 4.

    CQFD

    C'est une manière de trouver la solution.
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  18. #14
    curieux

    Nous avons déjà parlé du risque de ne pas tenir compte des 2 et des 5
    En suivant ton raisonnement pour 12*13*14*15
    un nombre qui se termine par 2, un autre qui se termine par 5 donc le nombre final comporte 1 zéro
    les nombres restants ne sont pas multiples de 5 l'un se termine par 4 l'autre par 3 donc le produit se termine par 2 mais .....12*13*14*15 = 32760

  19. #15
    folky

    yo
    Je suis entrain de réfléchir à une technique "éliminatoire", en effet le chiffre de fin ne peut etre que 1.2.3.4.5.6.7.8.9

    L'étape suivante de mon raisonnement est que si on regarde la factorisation en facteur premier des nombres compris entre 1 et 100, 2 y est présent en plus grande quantités que 5 (forcément puisqu'un chiffre sur deux est pairs ^^)

    D'ou je peux réécrire 100! comme 2*A*10^n, ou A est 100! auquel j'ai retirer tout les zéros de fin (symbolyser par 10^n) ainsi qu'un facteur 2

    Il en résulte que le dernier le premier chiffre non nul de 100! (et a priori de tout factoriel) est pair.

    Reste 2.4.6.8 comme solution, possible
    Pour l'instant j'en suis la je vais essayer de voir si on peut aller plus loin

    Sinon dans mes souvenirs au concours kangourou ils proposent un certains nombres de réponses non ?
    Parce que si 8 était la seul solution paire proposée alors c'est finis

  20. #16
    folky

    oups j'ai oublié de dire pourquoi je regardais le nombre de 2 et de 5 compris dans 100! ops:
    c'est évidement parce que ce sont les seuls dont la multiplication donne un zéro, et que comme il y a plus de 2, on a le droit d'en sortir un

  21. #17
    shokin

    Citation Envoyé par folky
    oups j'ai oublié de dire pourquoi je regardais le nombre de 2 et de 5 compris dans 100! ops:
    c'est évidement parce que ce sont les seuls dont la multiplication donne un zéro, et que comme il y a plus de 2, on a le droit d'en sortir un
    il y plus de 2 que de 5 ? faut que tu m'expliques !
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  22. #18
    shokin

    je retire mon dernier message, j'ai compris !
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  24. #19
    shokin

    Citation Envoyé par curieux
    Nous avons déjà parlé du risque de ne pas tenir compte des 2 et des 5
    En suivant ton raisonnement pour 12*13*14*15
    un nombre qui se termine par 2, un autre qui se termine par 5 donc le nombre final comporte 1 zéro
    les nombres restants ne sont pas multiples de 5 l'un se termine par 4 l'autre par 3 donc le produit se termine par 2 mais .....12*13*14*15 = 32760
    oups grave erreur que j'ai faite d'avoir oublié ce détail crucial

    alternative suivante :

    1) je multiplie par 2 tous les nombres terminés par 5 ainsi que le 50 d'où respectivement les derniers chiffres non nuls obtenus : 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, 1. Je multiplie encore par 2 les deux nombres dont le dernier non nul est 5. J'ai alors : 1, 3, 1, 7, 9, 1, 3, 3, 7, 9, 1. Et j'ai maintenant éliminé tous les nombres dont le dernier non nul était 5, mais reste à diviser par 2^13.

    2) je divise par 2 les dix nombres terminés par 2 et je divise par 8 le 8 initial. Les dix nombres se terminent par 1 ou 6.

    3) je supprime tous les nombres terminés par 1.

    4) je supprime les 3 et 7 initiaux (10 chacuns car 3*7=21)

    5) je supprime les 9 initiaux (10) car 9^10=81^5

    Restent alors 4^10*6^10*8^9 (initiaux)*1*2*3*4*6*7*8*9*1 (reste des multiples de 10)*1*3*1*7*9*1*3*3*7*9*1*6 (ce dernier 6 vient de l'opération 2) et un 6 multiplié par 1 ou 6 reste un 6)
    =2^1*3^4*4^11*6^1*7^3*8^10*9^3

    les 3 et 7 s'éliminent, reste un 3
    les 4 à puissance paire absorbés par le 6, reste 4
    les 9^2=81, reste 9

    =2*3*4*6*8^10*9
    =2^33*3*6*9
    =2^1*3*6*9 (2^32=(2^4)^8=16^8 donc absorbé par le 6)
    =6*9 (le 6 s'absorbe car 6*6=36 l'unité reste inchangée)
    =54

    donc 100! a pour dernier chiffre non nul 4

    CQFD
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  25. #20
    folky

    hum j'ai pas trop le temps de regarder en détails, mais y a pas un probleme au niveau des 2 ?
    Je suis pas sur que tu les ais tous pris en compte, mais encore une fois j'ai juste lu la démo, je regarderais plus en détails plus tard

  26. #21
    shokin

    j'ai pour l'instant pas trouvé plus simple et plus sûr, excusez moi si c'est pas très clair
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  27. #22
    curieux

    Je suis assez d'accord avec toi, on peut éventuellement raccourcir à partir de
    2^1*3^4*4^11*6^1*7^3*8^10*9^3
    en l'écrivant
    2*3*(3*7)<sup>3</sup>*4<sup>11</sup>*4<sup>5</sup>*9<sup>3</sup>*6
    puis , en remarquant, que le 4<sup>16</sup> est absorbé par le 6 ainsi que 2*3, et que 3*7 se termine par 1 ainsi que 9*9

    il ne reste plus que 6*9 donc 54

    mais cette démonstration ressemble un peu à la mienne... personne n'a plus simple?

  28. #23
    shokin

    j'aurais une autre alternative légèrement plus simple :

    1) je multiplie tous les nombres entiers sauf les nombres qui se terminent par 4, par 5 et par 10 : d'abord en supprimant les 1, les 3 et les 7 (il y en a autant et 3*7=21), les 9 (il y en a un nombre pair et 9*9=81). Ensuite, tous les 6 se résument à un seul 6 (le 6 en tant qu'unité de facteur s'absorbe lui-même); les 2 et les 8 (il y en a autant et 2*8=16) sont tous absorbés dans ce trou noir qu'est le 6.

    Il reste alors un 6 que je garderai pour la fin.

    2)Quant au nombres qui se terminent par 4, 5 et 10, je les multiplie ainsi : (opération facile, à la hauteur de l'affichage de la machine )

    4*5*10=200
    14*15*20=4'200
    ...
    94*95*100=893'000

    les derniers chiffres non nuls des 10 produits obtenus sont respectivement : 2, 2, 8, 6, 9, 2, 2, 4, 6, 3

    les quatre 2 sont absorbés par le 6 (survivant de la première étape) car 2^4=16, les 6 sont aussi absorbés car auto-absorbant.

    le 3, le 4 et le 8 sont absorbés par le 6 invincible (sauf à la fin) car 3*4*8=96.

    Reste le 9, qui va se sacrifier pour mettre fin à la dictature du 6 :

    9*6=54

    4 est donc le dernier non-nul survivant dans 100!
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  29. #24
    Shiho

    Re : 100! chez les kangourous

    Bonjour, j'arrive un peu tard mais comme je vais faire ce concours jeudi je m'entraine un peu avant. Apparament c'est mal parti j'ai pas compris ta démonstration shokin. De plus, on n'a pas le droit à la calculatrice alors tes calculs me semblent difficiles à réaliser à la main.
    Merci de m'expliquer ^^
    L'art équestre commence par la perfection des choses simples. (Oliveira)

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  31. #25
    homotopie

    Re : 100! chez les kangourous

    Bonjour,

    Idée : travailler essentiellement avec 5 et non 10.
    100 ! = (produit, P1, des nombres de 1 à 100 non multiples de 5).(5.10.15…95.100)
    100 !=P1..20 !
    100 !=.P1. (produit, P2, des nombres de 1 à 20 non multiples de 5).(5.10.15.20)
    100 !=.P1.P2.4 !
    100 !=
    est entier et pair (il y a strictement plus de 2 que de 5 dans 100 !) et aucun des nombres n’est divisible par 5.
    Une séquence (5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)=5K+4 !
    Le reste de la division par 5 du produit P1.P2.4 ! est le même que celui de Or, 2.3=5+1 donc 4 !=5*entier+4
    Le produit P1.P2.4 !=5 fois un entier +
    Le reste de la division du quotient par 5 est le même que celui de Or 4²=5.3+1, donc le reste de la division par 5 de est 4.
    est un nombre pair dont le reste de la division par 5 vaut 4 donc le reste de la division par 10 vaut 4 aussi.
    Le chiffre des unités est donc 4.

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