Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

[invitee37bb01f]

Bonjour,

Je bloque un peu sur l'interprétation du résultat de cet exercice :

Benjamin, Aurélie et Anna ont prévu d'aller voir le film Jurassic World. Benjamin sait que pendant un film, il mange en moyenne 130 grammes de popcorn avec un variance de 9. Un paquet de popcorn vendu au cinéma pèse 145 grammes. Quel est l'énoncé le plus précis que l'on puisse dire concernant la probabilité qu'il restera du popcorn pour Aurélie et Anna ?

J'ai procédé ainsi :

Données :

µ = 130 σ = 3 puisque V(X)= 9


A partir de ça j'ai les conditions nécessaire pour appliquer l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 −1/k²

On nous dit que le paquet pèse 145 gramme donc la valeur maximal est de 145 (borne supérieure).
Donc 145 = 130 + k.3 --> k = 5
Si on remplace k par 5 de l'autre coté on a 115 pour la borne inférieure.

Au final on arrive donc a :
P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 −1/(5)²

P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 0.96

J'interprète ca comme la probabilité que Benjamin ait consommé entre 115 et 145 grammes de pop corn est de 96% ou plus. Mais en quoi cela laisse-t-il présager qu'il y'aurait encore du Popcorn pour Aurélie et Anna ? La variable est comprise entre 115 et 145 avec les 2 valeurs comprises, et si on prend justement 145 gr il n'en restera plus pour les autres.
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[gg0]

Bonjour.

96% est la probabilité limite pour que le paquet soit juste vide. Donc la probabilité qu'il en reste est ....

J'ai cependant un doute, car la probabilité contraire n'est pas que X dépasse 145, mais cette probabilité plus la probabilité que X soit inférieur à 115. Mais on n'a aucun moyen de savoir si ces probabilités sont nulles ou pas. S'il s'agit seulement d'appliquer cette inégalité, on ne peut pas faire mieux que ce que tu as fait.

Cordialement.

[invitee37bb01f]

Le correctif indique 96% pour la réponse, j'avais aussi pensé a 4% pour la réponse finale étant donné qu'il s'agit événements contraires. Bizarre, bizarre tout ça.

[gg0]

"96%" n'est pas un énoncé, mais un nombre, ou un pourcentage si tu préfères. Quelle était la question exacte ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee37bb01f]

Le vrai énoncé :


Benjamin, Aurélie et Anna ont prévu d'aller voir le film Jurassic World. Benjamin sait que pendant un film, il mange en moyenne 130 grammes de popcorn avec un variance de 9. Un paquet de popcorn vendu au cinéma pèse 145 grammes. Quel est l'énoncé le plus précis que l'on puisse dire concernant la probabilité qu'il restera du popcorn pour Aurélie et Anna ? :
Avec 4 choix possibles (il s'agit d'un QCM) :

a)≤0.96 b)≤0.04 c)≥0.04 d)≥0.96

[gg0]

Donc il n'y a pas "96%" comme réponse.
Quelle est la bonne ?

[invitee37bb01f]

La bonne réponse est la d) ≥0.96

[Dlzlogic]

On est le forum supérieur, il me parait donc important que Biking comprenne de quoi il s'agit.
Avec les données fournies, on sait très bien que la probabilité que Benjamin mange tous les popcorn est très faible : 130g + 3*3g est largement inférieur à la capacité du paquet.
L'inégalité de Bienaymé est une inégalité certaine (cad une inégalité fondamentale). Il est impossible que l'évènement contraire se produise. Par contre, il n'est pas impossible que Benjamin mange tout le paquet mais cette probabilité est très largement inférieure à 1/1000.
Dans la pratique, cette inégalité n'a plus grand intérêt puis qu'on a trouvé une méthode probabiliste beaucoup plus précise.

[gg0]

Tu as expliqué toi-même que 96% n'a pas vraiment de sens puisqu'il ne reste rien ! et tu prendrais "plus de 96%" ?

[Dlzlogic]

Bonjour Birkin,
Comme il vous a été répondu sur un autre forum, il n'y a aucune raison valable d'utiliser l'inégalité de Bienaymé, sauf pour comprendre ce que ça représente et justifier une question, donc la réponse ne nécessaire par de calcul, puisque il est presque sûr que Benjamin ne mangera pas plus de 130 + 3*3 grammes de Popcorn, donc la bonne réponse ne peut être que la d).

[invitebd98b571]

Dlzlogic,
ce que tu expliques est vrai ... à condition que la loi que Benjamin suit pour manger son popcorn est la loi normale. Or ce n'est pas forcément le cas, vu que l'énoncé ne le précise pas.

L'intérêt de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, c'est qu'elle est valable quelle que soit la loi suivie ! Elle prouve la dernière réponse.

[Dlzlogic]

A partir du moment où un énoncé parle de variance ou d'écart-type il ne peut s'agir que de la loi normale. C'est à dire que l'on est dans le contexte du hasard. Voir le TCL.

[invite50ad94ad]

Bonjour, quel est ton niveau Dlzlogic pour dire des choses comme ça ??? Bien évidemment, variance et d'écart-type sont définis pour beaucoup de lois de probabilité, et pas seulement pour la loi normale. Le TCL s'applique justement à des variables qui ne suivent pas la loi normale...

[Dlzlogic]

Bon, le TCL dit que si un ensemble d'évènements ou de variables aléatoires de même loi (cad quelle que soit cette loi) alors la répartition des écarts à la moyenne arithmétique suit la loi normale et l'écart-type est égal à l'écart moyen quadratique.
Dans l'exercice proposé, la loi considérée est celle de Benjamin. C'est à dire on est censé avoir observé que Benjamin mange des popcorns en regardant un film et que suivant un certain nombre de conditions inconnues, par exemple la qualité du suspens, il mange plus ou moins de Popcorn. Sa consommation moyenne est 130g avec un écart-type de 3g. On est strictement dans le cadre du TCL. Le loi "Benjamin" est inconnue, on ne connait que sa manifestation, c'est µ=130 et s=3.
Il faut tout de même bien distinguer la loi de probabilité qui produit un évènement, ici la loi "Benjamin" et la répartition des résultats, c'est à dire la justification de l'adoption de la moyenne arithmétique et la justification du calcul de l'écart-type.
La loi "Aurélie" pourrait être, si elle a le paquet en main : moyenne 82g, écart-type 8g. Dans cas, on peut être presque sûr qu'elle ne mangera pas plus que 82 + 3*8g = 106g. (j'ai adopté 3 écart-type qui correspondent à une probabilité de presque 100%).

@ emmane, si tu peux justifier l'utilisation de la moyenne arithmétique et la calcul de l'écart-type, ce serait bien de nous expliquer. Un certain Léon1789, membre de différents forum, a fait des simulations pour vérifier que quelque soit la loi de probabilité, on avait bien une répartition conforme à la répartition normale, c'est à dire qu'il a vérifié que le TCL était juste.

[invite50ad94ad]

le TCL dit que si un ensemble d'évènements ou de variables aléatoires de même loi (cad quelle que soit cette loi)...

non, pas "quelle que soit cette loi" : on suppose que cette loi qui possède une variance ! Relis les hypothèses du TCL...

alors la répartition des écarts à la moyenne arithmétique suit la loi normale et l'écart-type est égal à l'écart moyen quadratique.

Le TCL parle d'une limite égale à la loi normale ! Relis aussi la conclusion du TCL...

Dans l'exercice proposé, la loi considérée est celle de Benjamin. C'est à dire on est censé avoir observé que Benjamin mange des popcorns en regardant un film et que suivant un certain nombre de conditions inconnues, par exemple la qualité du suspens, il mange plus ou moins de Popcorn. Sa consommation moyenne est 130g avec un écart-type de 3g. On est strictement dans le cadre du TCL.

Non, le cadre de l'exercice n'est aucunement le TCL. Relis le titre de la discussion...

Quel est ton niveau en proba Dlzlogic ???

il a vérifié que le TCL était juste.

J'en suis profondément bouleversé, le TCL est juste ! ah mon dieu, quelle découverte !

[invite50ad94ad]

j'arrête de répondre, je viens d'être informé du personnage

[Dlzlogic]

Bon, essayons d'être rigoureux.
1- l'énoncé donne la moyenne. On peut supposer que cela résulte des habitudes de Benjamin. Suivant différentes causes inconnues il a mangé une certaine quantité de son sac de popcorn. On ne sait pas comment on l'a mesuré, mais c'est une donnée de l'énoncé, et donc doit être considéré comme vrai. il n'est pas donné de précision sur cette moyenne, donc par défaut, c'est une moyenne arithmétique.
2- l'énoncé donne l'écart type. Cet écart type ne peut résulter que d'un calcul arithmétique, c'est à dire l'écart moyen quadratique.

Ce sont les seules informations de l'énoncé. Par ailleurs, ce sont les informations qui sont les paramètres de la loi normale, tel que le précise le TCL. Toutes les variables aléatoires suivent la même loi, la loi "Benjamin", c'est à dire une loi dont les paramètres, c'est à dire la loi des variables aléatoires et indépendantes de l'expérience étudiée, sont les paramètres fournis..

Dans ce contexte, le TCL est très clair : les écarts à la moyenne suivent la loi normale.

Indépendamment de cela, l'inégalité de Bienaymé est calculée en fonction de deux valeurs, la moyenne et l'écart-type.
Donc la question est posée, soit la moyenne n'est pas la moyenne arithmétique, alors dans ce cas, quelle est-elle ? Soit c'est la moyenne arithmétique.
Si cette moyenne n'est pas la moyenne arithmétique, que signifie l'écart-type ? autre chose que l'écart moyen quadratique ?
Si il y a une autre explication et une autre définition de la moyenne et de l'écart-type, il serait bien de le préciser et de le justifier.
Dans le cas contraire, on est rigoureusement dans le cas de l'application du TCL et que la probabilité que Benjamin mange plus de 130 + 3*3 = 139g de popcorn est très peu probable.

[danyvio]

Je suis contre la consommation de pop-corn au cinéma.