Tchebychev

[inviteda3529a9]

Bonjour a tous. J'ai une question a vous poser concernant le polynôme célèbre:
soit P(n)=1/(2i).[(X+i)^(2n+1)-(X-i)^(2n+1)]
je sais aussi que P(n)=sum(-binomial(2n+1,k).cos(k.Pi/2).x^k)
comment trouver les zéros de P(n) et les exprimer en fonction de cotan.
Merci beaucoup de vos réponses et bonne vacances a ceux qui sont en repos.
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[invite705d0470]

Bonjour,
je ne suis pas sûr de faire le lien avec les polynômes de Tchebytchev.
Par contre, j'ai déjà eu à utiliser ce polynôme pour une démonstration de la fameuse série .
Quoiqu'il en soit, pour ta première question il suffit de faire une recherche classique des z complexes tels que P(z)=0, en utilisant la première écriture du polynôme (la seconde, tu le verras, te servira justement à utiliser les relations coefficients-racines pour exprimer une somme de cotangentes ... au carré)

PS: il me semble que tu étudies P(X) et non pas P(n), non ? On peut aussi l'écrire (c'est pareil, mais on voit clairement que les termes impairs sont nuls, ce qui aide pour la fameuse relation coef-racine dont tu as besoin pour trouver , si bien sûr c'est ce que tu cherches !)

[inviteda3529a9]

Merci beaucoup de votre réponse mais pouvez vous détailler car je n'arrive pas à trouver votre réponse avec les cotan² .
Encore merci beaucoup d'avance et à tout de suite.

[inviteda3529a9]

par curiosité, à quoi est égale sum(cotan²(k.Pi/(2n+1)),k,0,n) (en détaillant svp) ?
et à quoi est égal sum(cotan²(k.Pi/(2n+1)),k,1,n)
Merci encore beaucoup d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda3529a9]

par curiosité, à quoi est égale sum(cotan²(k.Pi/(2n+1)),k,0,n) (en détaillant svp) ?
et à quoi est égal sum(cotan²(k.Pi/(2n+1)),k,1,n)
Merci encore beaucoup d'avance.

[invite705d0470]

Je veux bien donner des indices pour y arriver
(ce n'est pas si dur, tu vas y arriver ^^)
Avant tout, quelles sont les racines que tu as trouvé pour P ?

[invite705d0470]

Pour la curiosité, le résultat est que , résultat qui n'éclaire certainement pas la méthode pour le trouver
Ah, et attention: cotan n'est pas défini en 0 ! (donc on ne peut absolument pas considérer la somme débutant à 0).

[inviteda3529a9]

Je ne trouve pas les racines de P

[invite705d0470]

Je commence pour toi:
tu cherches les .
Tu cherches donc à résoudre
On considère de plus que car ce ne sont pas des racines de P.
Celà revient à résoudre .

Tu penses que tu peux continuer ?

Amicalement, Snowey.

[inviteda3529a9]

merci c'est bon je l'ai: cotan(k.Pi/(2n+1)) avec k appartenant à Z*-{2n+1}

Comment calculez vous la somme sum(cotan²(k.Pi/(2n+1)),k,1,n)

et à quoi est égal Q(X²) dans P(X)=Q(x²) ?????

Merci d'avance et à tout de suite

[albanxiii]

Bonjour,

par curiosité, à quoi est égale sum(cotan²(k.Pi/(2n+1)),k,0,n) (en détaillant svp) ?
et à quoi est égal sum(cotan²(k.Pi/(2n+1)),k,1,n)

Puisque vous semblez ne pas savoir utliser Google pour trouver un des zillions de documents sur le sujet, je vous aide : http://gilles.costantini.pagesperso-...iers/zeta2.pdf. Et c'est en français en plus !

Bonne journée.

[invite705d0470]

Oui, on a donc l'ensemble des solutions: .
Un moyen de trouver la somme des cotan au carré est de connaitre les relations coefficients-racines d'un polynôme, mais je ne ne sais pas si tu les connais :/
D'abord, essaie de réécrire l'ensemble des racines: en effet, tu cherches une somme de 1 à n, or tes solutions vont jusqu'à 2n, ce qui n'est pas très pratique ! Comment pourrait-on ramener tout ça avec k allant uniquement de 1 à n ?

Euh ...
je pense que si tu poses tu retrouves bien .
Pourquoi cette question ?

PS: tu peux aussi écrire P sous forme de produit, maintenant que tu as (toutes) ses racines. Celà donne alors (et ça doit t'aider pour la question précédente :P), en factorisant un peu, . Le Q que tu cherches s'écrit alors ...

[invite705d0470]

Merci à albanxiii ^^

[albanxiii]

(de rien.... de plus c'est un grand classique c'est toujours bon de l'avoir vu)