Polynômes de Tchebychev

[Xenthys]

Bonjour à tous

J'ai un DM à rendre et je bloque depuis une heure sur deux questions. J'ai démontré l'existence et l'unicité des polynômes de Tchebychev tels que P_n(cos)=.

Il me faut maintenant démontrer que si n est un entier impair, alors il n'existe pas de polynome P_n tel que sin(n)=P_n(sin).

Ensuite, il me faut démontrer que si n est impair, alors il existe un et un seul polynome tel que pour tout theta, sin(n)=P_n(sin). Pour cette question, j'ai envie de faire comme pour le polynome avec cos, c'est-à-dire de traiter l'unicité en utilisant le fait que si un polynome s'annule pour une infinité de valeurs, alors il s'agit du polynome nul et pour l'existence, de prendre la partie imaginaire de eⁱⁿ.

Merci d'avance pour votre aide.

-----

[Xenthys]

Bon, personne?

[Xenthys]

Personne ne peut vraiment m'aider? J'ai juste besoin d'une confirmation quant à la deuxième question et une piste par rapport à la première.

[NicoEnac]

Bonjour,

Il me faut maintenant démontrer que si n est un entier impair, alors il n'existe pas de polynome P_n tel que sin(n)=P_n(sin).

Pour n = 1 (qui est pourtant impair), P_n existe. De plus, vos 2 questions se contredisent :
1) prouver que pour n impair, P_n n'existe pas.
2) prouver que pour n pair, il en existe un et un seul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Rebonjour,

Je pense que la question 1) est "démontrer que si n est un entier pair, alors il n'existe pas de polynome P_n tel que sin(n)=P_n(sin)."

Pour cela, que pensez-vous, pour n quelconque de la parité du polynôme P_n ? Autrement dit, que vaut P_n(-X) d'après la définition que vous en avez donné ?

[Xenthys]

Rebonjour,

Je pense que la question 1) est "démontrer que si n est un entier pair, alors il n'existe pas de polynome P_n tel que sin(n)=P_n(sin)."

Pour cela, que pensez-vous, pour n quelconque de la parité du polynôme P_n ? Autrement dit, que vaut P_n(-X) d'après la définition que vous en avez donné ?

Oui, tout à fait. Je m'excuse pour cette erreur (pourtant majeure ) d'énoncé. Je l'ai lue tellement de fois que je n'arrive même plus à discerner correctement pair et impair. C'est bien montrer que si n est pair, alors il n'existe pas de polynôme. Encore désolé pour l'erreur ...

Pn(-X) équivaut à Pn(sin(-&)) (ce n'est pas bien rédigé mais j'ai du mal à le formaliser entre les X et les sin&, je me perds un peu) donc Pn(-X)=sin(-n&)=-sin(n&)=-Pn(X) donc le polynôme est impair. Ça impliquerait que n est impair? Je suis vraiment désolé mais je ne vois pas le rapport.

[NicoEnac]

donc le polynôme est impair.

Tout à fait ! Et pour qu'un polynôme soit impair, il ne doit y avoir aucune puissance de x paire donc à fortiori sa puissance de plus haut degré (donc n).

[God's Breath]

Et pour qu'un polynôme soit impair, il ne doit y avoir aucune puissance de x paire donc à fortiori sa puissance de plus haut degré (donc n).

La question ne comporte pas, me semble-t-il, de condition sur le degré du polynôme.
On peut envisager que, dans le cas où n est pair, il existe un polynôme P_n impair, donc de degré impair, qui satisfasse la relation voulue.

[NicoEnac]

La question ne comporte pas, me semble-t-il, de condition sur le degré du polynôme.
On peut envisager que, dans le cas où n est pair, il existe un polynôme P_n impair, donc de degré impair, qui satisfasse la relation voulue.

C'est vrai que je suis passé au travers. Il faudrait alors commencer par dire que P_n a n racines (pour pour k € [0,n[

[Xenthys]

Ah, oui, merci beaucoup. Je montre que le polynôme a n racines et avec son imparité, j'en déduis qu'il n'a que des puissances impaires?

[NicoEnac]

Je pense que cela devrait suffire. On sait que le degré est inférieur ou égal à n (par la décomposition de e^i.n.theta = (e^i.theta)ⁿ). De plus, il possède exactement n racines distinctes. Donc pour moi (mais God's Breath étant largement meilleur en mathématiques - et je dis cela sans ironie, peut-être que quelque chose m'a échappé qui ne lui a pas échappé).

[God's Breath]

On sait que le degré est inférieur ou égal à n (par la décomposition de e^i.n.theta = (e^i.theta)ⁿ).

Le passage par l'exponentielle ne fournit pas de polynôme en sinus, donc je ne vois pas la portée de l'argument.

De plus, il possède exactement n racines distinctes.

C'est vraiment vrai ?

Prenons par exemple et supposons qu'il existe un polynôme tel que, pour tout nombre réel : .
En particulier, pour tout nombre entier : , ce qui nous fournit, me semble-t-il, 5 racines de :
– pour ;
– pour ;
– pour ;
– pour ;
– pour .
De plus, pour savoir combien le polynôme a de racines, il faudrait déterminer l'ordre de multiplicité des racines que l'on vient d'obtenir, tenir compte d'éventuelles racines hors de l'intervalle , voire des racines non réelles.
En fait, par imparité du polynôme, pour toute racine , est également racine avec le même ordre de multiplicité : la seule contradiction possible serait que 0 soit racine d'ordre de multiplicité pair.
Or la dérivation par rapport à fournit : donc, pour : et 0 est racine simple. Le polynôme aura donc un nombre impair de racines comptées avec leurs multiplicités respectives.

Dans ce genre de problème, il faut s'orienter vers une équation différentielle. Une seconde dérivation par rapport à fournit : , c'est-à-dire que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle : , et par suite le polynôme est nul puisqu'il a une infinité de racines.
Si est de degré , de coefficient dominant , le terme de degré de a pour coefficient : dont la nullité impose : , ce qui est gênant puisque est pair, alors que le degré de est impair.