ça me rappelle Tchebychev

[invite3240c37d]

Soient les fonctions , intégrables, telles que .
Montrer qu'au moins une des fonctions n'est pas strictement monotone .
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[Seirios]

Bonjour,

Je suis un peu en retard, mais voici ma proposition :

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Soient strictement monotones. Quitte à multiplier par -1 ou à additionner une constante à l'une des fonctions, on peut supposer f et g positives et strictement croissantes. Posons . L'égalité entre les intégrales de l'énoncé implique que (1). On coupe le carré [0,1]² par la diagonale en un triangle inférieur et en un triangle supérieur . Alors h est positive sur et négative sur . De plus, et (2).
En combinant (1) et (2), et en notant , on trouve que . Or H est positive sur , donc elle doit être identiquement nulle, ce qui est contradictoire avec f et g strictement croissantes.