Bonjour,
j'ai des problèmes sur un exercice concernant les polynômes de Tchebychev
"En observant le théorème de D’Alembert-Gauss, montrer que, pour p entier naturel, il existe au plus un polynôme fp tel que quelque soit x appartenant à R, cos(px) = fp(cosx)."
La question précédente se trouve sur http://forums.futura-sciences.com/ma...chebychev.html
Grâce au théorème, je sais que tout polynôme complexe de degré non nul possède une racine (on a vu que nos polynômes en possèdent même une infinité), et que tout polynôme complexe non nul s'écrit comme produit de polynômes du premier degré comme a*pi (pour k allant de 1 à p)*(X-alphak)
Cependant, je ne vois pas du tout comment démontrer l'unicité du polynôme.
L'autre question est :
On définit la suite T de polynômes par T0 = 1, T1 = X et qqe soit n appartenant à N, Tn+2 = 2XTn+1 - Tn.
Pour s’assurer de l’existence de cette suite, montrer que l’on peut définir T par
[ Tn = [ 0 1 ^n * [ 1
Tn+1 ] -1 2X ] X ]
Montrer que Tn(cosx) = cos(nx).
Montrer que, pour n dans N, le seul polynôme P tel que P(cosx) = cos(nx) est Tn.
Pour les matrices, j'ai essayé de faire par récurrence mais pour Pn+1, on a une matrice 2 lignes 1 colonne qui se multiplie par une matrice 2 lignes 2 colonnes, donc ça ne marche pas
Merci d'avance pour vos réponses !
Bipattes
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