forme bilineaire

[invitea19e35c1]

bonjour a tous ,
En effet ,en préparent pour le ds ,j'ai trouve un exercice sur internet qui me parait difficile , je n'ai pas pu répondre a ses question . je souhaite que vous puissiez m'aidez .
voici l'exercice:
1 1 3
soit f la forme bilinéaire de R^3 dont la matrice dans la base canonique est M= 1 3 4
2 4 1
1-ecrire l'expression analytique de f relativement a la base canonique de R^3.
2-f est elle symetrique? f est elle alternee ? justifiee vos reponses.
3-determiner la matrice M' de f dans la base B'=(u1,u2,u3) avec u1=(1,1,0) , u2=(0,1,1) et u3=(0,0,1)

voici j'ai ecris juste une petite partie de l'exerice . ce qui m'a boulverse c'est la notion de la forme bilineaire en R^3 , je ne l'ai pas compris du tout ,j'ai cherche sur internet mais je n'ai rien trouve et compris . je souhaite m'aider a repondre a cet exerice et me faire comprendre 'forme bilineaire en R^3'.
et merci d'avance .
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[invite23cdddab]

Tu as eu un cours sur les formes bilinéaires ?

[invitea19e35c1]

oui on a etudie que pour f soit bilineaire elle doit etre lineaire selon la premiere composante et la deuxieme composante . mais je n'ai pas compris c quoi bilineaire en R^3 . et je n'arrive pas a repondre a l'exercice .

[jacknicklaus]

mais je n'ai pas compris c quoi bilineaire en R^3 . et je n'arrive pas a repondre a l'exercice .

R3 c'est tout simplement l'espace vectoriel sur lequel la forme bilinéaire est définie. On dit plutôt "bilinéaire sur R3 x R3" que "bilinéaire en R3"

si b est la forme bilinéaire, b : R3 x R3 ---> R
c'est à dire qu'elle prends en entrée 2 vecteurs de R3 et donne un nombre réel en résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea19e35c1]

mreci bcp pour votre reponse . j'ai essaye avec la premiere question , je souhaite que ca soit correcte .
ce que j'ai fait est que f(e1,e1)=1 , f(e1,e2)=1 , ..... f(e3,e3)=1
et puis f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=f(x1e 1+x3e2+x3e3,y1e1+y2e2+y3e3)=x1 y1f(e1,e1)+x2,y2f(e1,e2) +.. et ainsi de suite pour arriver au resultat final
=x1y1+x2y2+3x1y3+x2y1+3x2ye+4x 2y3+2x3y1+4x3y2+x3y3
je souhaite que la reponse soit correcte
et merci

[jacknicklaus]

Oui tu peux faire comme çà. Mais la méthode directe , que tu as dû voir en cours, est préférable.

Attention, 3 coquilles dans ton résultat : (2ème terme "x2y2" erroné, un "ye" au 5, et un "x 2" au 6. Il faut être plus soigneux dans les écritures !

[invitea19e35c1]

merci bcp
oui desole ce sont des fautes de frappe , pour le troisieme terme je ne crois pas qu'il y a une faute , j'ai utilise les 2 methodes et j'ai eu les memes resultats .
pour a 3 eme question je crois j'ai une faute .
j'ai trouve que la matrice de f dans B' est
.....1 0 0
M'=1 1 0
,,,,,0 1 1
et cela en calculant f(u1,u1) ... f(u3,u3)
mais dans la question suivante on nous demande de verifier la formule de changement de base reliant M et M' et je ne trouve pas les memes resultats . je ne sais pas ou j'ai fait erreur .

[invitea19e35c1]

desole j'ai trouvee
,,,,, 6 11 7
M'=10 12 5
,,,,,,6 5 1