petite précision sur une contraposée

[fabio123]

Bonjour,

je voulais avoir une précision sur la contraposée de l'implication ci-dessous sur cette définition : "une famille de vecteurs est dite libre si et seulement si :



Si je prends le contraire du membre de droite (pour montrer qu'une famille n'est pas libre), je pense qu'il peut s'écrire ainsi :



Ce que je ne comprends pas, c'est de dire "qu'il existe au moins un lambda_i différent de 0" tel que la somme .

D'après moi, il y a nécessairement au moins 2 lambda_i différents de 0 qui peuvent impliquer car s'il n'y en avait qu'un, il serait obligatoirement égal à 0 (en effet avec un seul lambda_i différent de 0, on se retrouverait avec , donc lambda_i=0.

J'espère avoir été assez clair, je dois faire sûrement une confusion et toute aide est la bienvenue.

Merci par avance
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[Médiat]

Bonjour,

1) S'il y en a deux c'est qu'il y en a au moins un, donc pas de contradiction
2) Si alors convient, même si tous les autres sont nuls

[Verdurin]

Salut,
une famille comportant le vecteur nul est liée.
Il suffit d'un coefficient non nul dans ce cas.

[Médiat]

Attention, au sens purement logique, la bonne explication est celle que j'ai notée 1)

Il serait facile de trouver des exemples où il est nécessaire de trouver plusieurs éléments et pas seulement un seul, mais le connecteur ne signifie pas "un seul", donc, pas de problème

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Attention, fabio123, pour montrer qu'une famille n'est pas libre, il faut nier l'implication

Donc pas contraposer (qui donne une propriété équivalente), mais contredire avec


Cordialement.

[fabio123]

@gg0

je reviens sur ta remarque, à savoir qu'il faut que je nie l'implication suivante et non la contraposer :



Si je prends l'implication "P => Q", c'est-à-dire selon la table de vérité : "non P ou Q", Alors la négation de cette implication est "P et non Q"



Si dans la famille de vecteurs, l'un des est colinéaire avec un autre vecteur avec et , Alors on peut par exemple choisir et ainsi on a 2 lambda différents de 0, c'est-à-dire et tels que .

Comme tu disais, avoir deux lambda_i différents de 0, c'est encore en avoir au moins 1, donc la négation est respectée.

Mais les autres réponses indiquent qu'une famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée : je suis d'accord mais je n'ai pas introduit le vecteur nul dans la démonstration, quel est le rapport avec le fait de dire "Il existe au moins un lambda_i différent de 0 tel que ?

Merci pour ton aide

[gg0]

Médiat t'a répondu au message #2.

"je n'ai pas introduit le vecteur nul dans la démonstration" ?? Dans celle qui est au dessus ? elle est fausse !! Tu dis " peut par exemple choisir " ce qui suppose que tu puisses calculer ce quotient, donc que soit non nul. Tu n'en sais rien, tu peux très bien avoir .

De plus, famille liée ne veut pas dire "deux vecteurs colinéaires". Seulement qu'il existe une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs qui nie la conclusion de "libre" : on sait qu'il est faux que tous les coefficients sont nuls; donc au moins un coefficient est nul. Et ça arrive bien quand parmi les vecteurs il y a le vecteur nul.

Comme tu reviens dessus 17 mois après, un conseil : Oublie ton idée à priori, et lis vraiment ce qu'on te dit.

Cordialement.

[fabio123]

on sait qu'il est faux que tous les coefficients sont nuls; donc au moins un coefficient est nul

tu veux peut être dire qu'il existe au moins un coefficient non nul ?

[gg0]

Oui, tu rectifies bien : on sait qu'il est faux que tous les coefficients sont nuls; donc au moins un coefficient est non nul.