determinant d une matrice

[invitecbe90af7]

salut
quelqu'un peut m'aider a propos d une propriété s'il vous plait

soit A et B deux matrices de Mn(K)

si det(A) = det(B)

alors que peut on dire de A et B ( la relation qui lie A avec B)
est ce que il existe une matrice C tq A=C.B
ou A est semblable avec B ?


que peut on dire ?

merci d'avance
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[albanxiii]

Bonjour,

Une piste pour démarrer : .

[Médiat]

Bonjour,

Une autre idée : considérer le cas où B est la matrice nulle et A non nulle

[invite9dc7b526]

Tiens je me demande quelle forme a la surface {A; det(A)=c}. Ce n'est pas facile de visualiser une surface dans un espace à n^2 dimensions. Est-elle connexe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

A la réflexion je me dis qu'il y a peu de chance que l'ensemble det(A)=Cste soit connexe. J'imagine que l'ensemble det(A)=0 découpe l'espace en cellules et qu'on trouve des morceaux de la même surface dans plusieurs des cellules.

Je serais tenté d'étudier la question dans l'espace des valeurs propres (on passe de n^2 coordonnées réelles à n coordonnées complexes) mais les valeurs propres ne sont pas naturellement ordonnées.

[invite23cdddab]

A la réflexion je me dis qu'il y a peu de chance que l'ensemble det(A)=Cste soit connexe. J'imagine que l'ensemble det(A)=0 découpe l'espace en cellules et qu'on trouve des morceaux de la même surface dans plusieurs des cellules.

Je ne sais pas si det(A) = c est connexe, mais en tout cas, det(A) > 0 est connexe (tout comme det(A) = 0, qui est même un convexe étoilé )

[slivoc]

Bonjour,

Je vais peut etre dire une grosse bêtise, mais si c>0, alors une matrice M tq det M=c, n' est elle pas le produit d une matrice de SO(n) (Mc ou les coeffs sont ceux de M divisés par la racine n-ième de c) et de racine n-ième (c)*Id. Donc on aurait que l' ensemble des matrices M tq det M=c serait homéomorphe à SO(n) ?

Bonne journée !

[invited3a27037]

A est semblable avec B ?

Pas forcément. Deux matrices semblables ont le même déterminant mais la réciproque n'est pas vraie

[invite23cdddab]

Bonjour,

Je vais peut etre dire une grosse bêtise, mais si c>0, alors une matrice M tq det M=c, n' est elle pas le produit d une matrice de SO(n) (Mc ou les coeffs sont ceux de M divisés par la racine n-ième de c) et de racine n-ième (c)*Id. Donc on aurait que l' ensemble des matrices M tq det M=c serait homéomorphe à SO(n) ?

Bonne journée !

Non. SO(n) n'est pas l'ensemble des matrices de déterminant 1. Une matrice M appartient à O(n) si et seulement si son inverse est égale à sa transposée, donc si ce que tu proposait été vrai, on aurai, pour toute matrice M de déterminant non nul MM^t = lambda* I.

[slivoc]

Effectivement, j' ai été trop vite, désolé !

[AncMath]

Tiens je me demande quelle forme a la surface {A; det(A)=c}. Ce n'est pas facile de visualiser une surface dans un espace à n^2 dimensions. Est-elle connexe?

Oui elle est connexe. Le groupe est connexe pour la topologie analytique, parce qu'il est engendré par les matrices possédant des 1 sur la diagonale et une seule autre entrée possiblement non nulle.
L'hypersurface pour c une constante non nulle est homéomorphe à .
Pour les matrices non inversibles, le déterminant est un polynôme irréductible sur C, donc cela assure que l'hypersurface des matrices complexes non inversibles est irréductible et donc connexe.

[invite9dc7b526]

ok merci. Pour le cas du déterminant nul on peut voir que si det(A)=0 alors det(cA)=0 pour tout scalaire c et donc l'ensemble {det(A)=0} est connexe par arcs.