Déterminant d'une matrice S.D.P.

[invite13cd37f1]

Salut tout le monde,
On voulait savoir si le déterminant d'une matrice symétrique définie positive est strictement positif; Voila ce que j'ai pu faire:

Soit A une matrice S.D.P., alors on peut lui appliquer la factorisation de Cholesky : A=B^tB .

Du coup, A=B^tB --> det(A)=det(B)*det(^tB)=det(B)² ( Car B et triangulaire inférieure )

or det(B) = le produit de i=1 jusqu'à n de b_ii; Or le bii>0 par construction (Voir ICI).

Donc det(B)>0, ce qui implique que det(A)>0.

ai-je raison ?
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[Seirios]

Bonjour,

Le raisonnement me paraît correct, mais une fois montré que , il me paraît plus simple de remarquer que est inversible donc . Sinon, on peut dire que est diagonalisable (puisque symétrique) et que ses valeurs propres sont strictement positives (puisque définie positive), donc le produit de ces valeurs propres est strictement positif.