challenge

[invite056d888d]

b'jour m'sieur, dames
je cherche des challenges de maths (pour s'occuper quoi histoire de faire travailler un peu les neurones) niveau math sup/spé, voila merci de votre aide au revoir ^^
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[invite8b04eba7]

Salut !

Tu peux chercher du côté des olympiades internationales. Les exercices ne sont pas vraiment du niveau prépa, mais question challenge, c'est plutôt pas mal !

[invite986312212]

essaie de démontrer par des méthodes élémentaires que, pour tout ,

( signifie "divise")

ça m'avait pris beaucoup de temps. Bon, ça prouve pas que ce soit très dur...

[invite6b1e2c2e]

Salut,

On peut pas calculer explicitement des formules en fonction de n pour ces bêtes là ?
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rvz, pour envisager une solution bourrine

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Je suppose que le but est de le démontrer sans passer par les formules, sinon ce n'est pas très drôle.
En même temps, tant qu'une méthode fonctionne ...

[invite986312212]

au fait cet exercice est tiré d'un bouquin de Sierpinski qui s'appelle quelque-chose comme "250 problèmes de théorie des nombres", publié chez Jacques Gabay. Certains sont très difficiles.

[invite6b1e2c2e]

Certes, mais je crois qu'Ambrosio a juste dit élémentaire, pas élégant.

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rvz, pour le bourrinage en règle, mais qui aimerait bien avoir quelque chose de plus simple

[invite986312212]

eh ben non, je suis pas arrivé à montrer la divisibilité sans calculer les sommes. Mais le calcul direct de ces sommes est très ardu, surtout celle avec l'exposant 5. Il existe une méthode élégante inventée par un des Bernoulli mais que j'ignorais à l'époque (et que je n'ai pas su réinventer, n'est pas Pascal qui veut).

pour Lethys, je lui conseille vivement de travailler le Sierpinski. Il faut juste commencer par déchirer la partie solutions afin d'échaper à la tentation de s'instruire au lieu de chercher.

[matthias]

eh ben non, je suis pas arrivé à montrer la divisibilité sans calculer les sommes. Mais le calcul direct de ces sommes est très ardu, surtout celle avec l'exposant 5. Il existe une méthode élégante inventée par un des Bernoulli mais que j'ignorais à l'époque (et que je n'ai pas su réinventer, n'est pas Pascal qui veut).

Oui il y a plusieurs méthodes, dont au moins une très belle.
Mais il y a aussi une solution totalement bourrin, et pas difficile conceptuellement pour un sou, qui consiste à supposer que l'on a un polynôme de degré puissance+1 et à résoudre un système.

[invite6b1e2c2e]

Très très mignon, Matthias. Et effectivement, après une petite récurrence suffit.
En fait, ç consiste à chercher un polynôme tel que
P(X)-P(X-1) = X^n, et donc on cherche un polynôme de degré n+1 pour que ça puisse marcher. Après, une simple petite preuve par récurrence donne le résultat...
(il suffit de rajouter la constante qui va bien, hein, on est bien d'accord...)
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rvz

[matthias]

On peut aussi balancer directement la formule et la démontrer ensuite par récurrence. On n'oubliera pas le petit laïus qui s'impose sur l'intuition en mathématique pour mieux faire passer la pilule

[EDIT: pour le plaisir, regardez sur Google d'où vient le mot laïus ]

[invite6b1e2c2e]

Enfin tu sais que S_n la somme des n premières puissance k satisfait S_n = P(n), où P vérifie
P(X)-P(X-1) =X^k ,
et P(0)=0.
Après, par chance, on sait qu'il existe un unique polynôme de degré k+1 qui satisfait ça, donc on a la formule. Mais en fait, si on trouve une autre fonction f tel que f(p)-f(p-1) = p^k pour tout entier p, et f(0)=0, alors on aura en plus que f(n) = P(n) en tous les entiers.
Ce que je veux dire par là, c'est qu'il n'y a pas qu'une formue logique *à priori*, mais que celle qu'n connait avec les polynômes est de loin la plus naturelle.

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rvz

[matthias]

Oui bien sûr. Mais à moins de vouloir généraliser le problème, je ne crois pas qu'il soit franchement utile de sortir du cadre douillet des polynômes.

[invite6b1e2c2e]

Essayons de regarder par exemple la somme S_n des g(k), pour k entre 1 et n.
Alors, l'expression de S_n est "facile" si S_n = f(n) pour une certaine fonction f.
Donc on peut trouver une expression "facile" ssi
il existe f tel que
f(p)-f(p-1) = g(p)
f(0) =0

Je trouve que c'est une jolie formulation de la chose. Au passage, si tu prends une fonction f crado, tu peux construire des tas d'exemple degueu de g, qui devraient pouvoir être des vraies casse têtes pour de futurs étudiants...

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rvz

[invite986312212]

vous avez raison, ce n'est pas très compliqué (une fois qu'on a deviné que c'était un polynôme). Moi j'avais utilisé une méthode géométrique, inspirée de la méthode que la légende attribue à Gauss (qui avait moins de 10ans selon ladite légende).