Bonjour,
https://youtu.be/DYun3S4_zgw?t=21m40s (21:40)
Elle trouve que 1 est une racine du polynôme et ensuite elle dit "et donc ce polynôme là est divisible par X - 1."
Je ne comprends pas comment elle arrive à cette conclusion. Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
Merci !
Théorème ultra -classique !
Si P est un polynôme tel que P(a)=0, alors P(x) est divisible pas x-a.
Et écrivant P(x)=(x-a) Q(x)+r(x) (division euclidienne), on voit tout de suite pourquoi.
Cordialement.
D'accord, merci beaucoup pour votre réponse.
Par contre, même en écrivant P(x)=(x-a) Q(x)+r(x) (division euclidienne) je ne vois toujours pas pourquoi.
Et est-ce que A|C et B|D implique AB | CD est un également un théorème ?
Bonjour,
En divisant P par (X-a), quel est le degré de r ? en y répondant, il suffit d' évaluer P en a et on voit pourquoi.
Pour la seconde question, il suffit d' écrire que A|C implique que il existe P un polynome tq C=PA, de même, il existe Q un polynome tq D=BQ, puis de ré-écrire CD ( et le produit de polynomes complexe est commutatif).
Bonne journée !
Merci pour votre réponse.
J'ai une autre question concernant le théorème:"Si P est un polynôme tel que P(a)=0, alors P(x) est divisible pas x-a.", est-ce que le théorème fonctionne à l'envers, cad est-ce que l'on a:
"P est un polynôme tel que P(a)=0 si et seulement si P(x) est divisible pas x-a." ?
"En divisant P par (X-a), quel est le degré de r ? "
Si (X-a) divise P, r est nul et donc son degré est -infini. Mais là je pars de ce que je veux prouver donc j'ai mal compris ce que vous me dîtes.
Pour la première question, il faut juste écrire que P est divisible par (x-a) implique qu' il existe Q un polynome tq P(x)=Q(x).(x-a), puis regarder ce que vaut P(a).
Pour la seconde, il y a en fait deux possibilités, deg(r)< deg(X-a)=1, donc deg(r) = 0 ou - l' infini, si son degré est 0, pour tout x, r(x)=c, c différent de 0, que vaut alors P(a) ?
Merci de votre réponse.
Je ne comprends pas les deux dernières lignes ni l’intérêt de connaitre le degré de R en fait, le postulat de départ est que (X-a) divise P, donc dans l'équation suivante R = 0 pour X= a: P = (X-a)*Q + R, donc le degré de R est forcément -l'infini. Non ?
Si le degré de R est 0, alors P(a) =/= 0, donc a n'est pas une racine de P.
J' ai mal du comprendre dans quel sens vous vouliez le montrer ( mais de toute façon il y a équivalence). Pour montrer que si a est racine de P, alors P est divisible par (X-a), on peut le faire comme gg0 l' a suggéré, c' est à dire en écrivant P(x)=(x-a) Q(x)+r(x) ( à ce moment là on ne sait pas encore que x-a divise et que r est donc nul), regarder quels sont les degrés de r possibles puis évaluer P en a pour pouvoir conclure. Pour l' autre sens, il suffit d' écrire qu il existe Q un polynome tq P(x)=Q(x).(x-a) et regarder ce que vaut P(a).
Bonne soirée !
Très bien merci, donc ici je suis sur le sens a racine de P implique (X-a) divise P.
On a P(x) = (x-a)Q(x)+ r(x) avec deg(r) < deg(x-a) = 1
Donc deg (r) = 0 ou deg(r) = -l'infini
Si deg (r) = l'infini alors (x-a)|P mais si deg(r) = 0, on a r = c =/= 0, P(a) = (a-a)Q(a) + c = c, contradiction avec le fait que p(a) = 0, donc deg(r) = -l'infini, donc (x-a)|P.
C'est ça ?
ça me semble bon, oui ! (peut etre attendre la confirmation d' un plus expert que moi)
Bonne soirée !
Une façon plus élégante de faire est de commencer par prouver que P(x)=(x-a)Q(x)+P(a) (en prenant x=a dans P(x)=(x-a)Q(x)+R(x)).
De ce fait, P(a)=0 est équivalent à P(x)=(x-a)Q(x).
Cordialement.
NB : Sans le dire, on utilise l'unicité de la division euclidienne.
