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spe math: PGCD(a,b)=PGCD(5a+3b,3a+2b) ?



  1. #1
    etiennel80

    spe math: PGCD(a,b)=PGCD(5a+3b,3a+2b) ?


    ------

    Bonjour,
    j'ai un petit problème pour comprendre cet exercice:

    Démontrer que PGCD(a,b)=PGCD(5a+3b,3a+2b).

    Indication: Démontrer que g=PGCD(5a+3b,3a+2b) divise d=PGCD(a,b) et que réciproquement d divise g

    Je ne vois pas vraiment comment démarrer!

    J'aimerai un petit coup de main pour me mettre sur la voie svp
    Merci d'avance!

    -----

  2. #2
    RoBeRTo-BeNDeR

    Re : spe math: PGCD(a,b)=PGCD(5a+3b,3a+2b) ?

    Bonjour,

    tout (enfin quasiment) tiens dans le fait que 5, 3 et 2 sont premiers entre eux deux à deux.

    Je reprendrai tes notations.

    d divise a et divise b car d est le pgcd de a et b donc d divise toutes leurs combinaison linéaires donc d divise 5a+3b et 3a+2b donc d divise g car g est leur pgcd.

    Maintenant il faut tenter de retrouver a et b à partir de 5a+3b et de 3a+2b

    on peut voir que g divise b car g divise toute combinaison linéaire de 5a+3b et de 3a+2b donc divise

    de même de même g divise a

    donc g divise a et b donc divise d

    donc g et d sont associés. Si l'on prend la notion de pgcd positif alors ils sont égaux.

    RoBeRTo

  3. #3
    etiennel80

    Re : spe math: PGCD(a,b)=PGCD(5a+3b,3a+2b) ?

    Merci beaucoup à toi Roberto, j'en esperai pas tant, mais au moins j'ai tout compris!

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