spe math: PGCD(a,b)=PGCD(5a+3b,3a+2b) ?

[invite4502ba25]

Bonjour,
j'ai un petit problème pour comprendre cet exercice:

Démontrer que PGCD(a,b)=PGCD(5a+3b,3a+2b).

Indication: Démontrer que g=PGCD(5a+3b,3a+2b) divise d=PGCD(a,b) et que réciproquement d divise g

Je ne vois pas vraiment comment démarrer!

J'aimerai un petit coup de main pour me mettre sur la voie svp
Merci d'avance!
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[invite332de63a]

Bonjour,

tout (enfin quasiment) tiens dans le fait que 5, 3 et 2 sont premiers entre eux deux à deux.

Je reprendrai tes notations.

d divise a et divise b car d est le pgcd de a et b donc d divise toutes leurs combinaison linéaires donc d divise 5a+3b et 3a+2b donc d divise g car g est leur pgcd.

Maintenant il faut tenter de retrouver a et b à partir de 5a+3b et de 3a+2b

on peut voir que g divise b car g divise toute combinaison linéaire de 5a+3b et de 3a+2b donc divise

de même de même g divise a

donc g divise a et b donc divise d

donc g et d sont associés. Si l'on prend la notion de pgcd positif alors ils sont égaux.

RoBeRTo

[invite4502ba25]

Merci beaucoup à toi Roberto, j'en esperai pas tant, mais au moins j'ai tout compris!