spé math dm pgcd

[invite9b6c4547]

bon voila j'ai un problème pour un exercice d'un dm de spé voila l'énoncé:

1)a) Montrer que pour tout naturel n , 3n^3-11n+48 est divisible par n+3.
b)Montrer que pour tout naturel n, 3n²-9n+16 est un entier naturel non nul.

2)Montrer que pour tous les entier naturels non nuls a, b et c , PGCD(a;b)=PGCD(bc-a;b)

3) Montrer que pour tout entier naturel n>(ou =)2, PGCD(3n^3-11n;n+3)=PGCD(48;n+3).

4) en déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que (3n^3-11n)/(n+3) soit un entier naturel

j'ai plus ou moins réussi le 1) avec la division euclidienne de 3n^3-11n+48 par n+3
et pour le b) j'ai chercher delta qui est négatif donc 3n²-9n+16 n'est pas égales a zéro mais j'arrive pas a prouver que c'est un entier naturel ( en fait je comprend pas : pour tout naturel c'est des entiers naturels non ? )

et la suite je vous dit même pas ...
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[invitef1b93a42]

Bonjour, je vais tenter de t'éclairer sur cet exercice qui est assez classique...
1) a) Il faut factoriser 3n^3-11n+48 et on trouve que c'est égal à (n+3)(3n^2-9n+16) . Or, 3n^2-9n+16 est un entier relatif puisque n est un entier naturel. Donc, n+3 divise 3n^3-11n+48.
b) Tu fais le discriminant de 3n^2-9n+16 et on trouve qu'il est négatif, donc 3n^2-9n+16 est strictement positif , c'est-à-dire 3n^2-9n+16 est un entier naturel non nul.
2) Pour cette question, on doit poser d=PGCD(a;b) et d'=PGCD(bc-a;b). Ensuite il faut démontrer que d divise bc-a et b donc d divise d'. De même on doit démontrer que d' divise a et d' divise b donc d' divise d (tout ceci se fait grâce aux combinaisons linéaires c'est-à-dire si a divise b et a divise c alors a divise au+bv avec u;v deux entiers relatifs non nuls.). Or, si d divise d' et d' divise d, alors d=d' .
3) Maintenant tu réutilises la question précédente en remarquant que bc-a=48 avec b=n+3; c=3n^2-9n+16 et a=3n^3-11n. On a donc PGCD(3n^3-11n;n+3)=PGCD(48;n+3).
4) Pour la dernière question, tu réutilises la question précédente, avec n entier naturel supérieur ou égal à 2, je te laisse chercher une minute car je t'ai mâché un peu le travail.

[invite9b6c4547]

merci beaucoup grâce a toi j'ai compris mon cours ☺