PGCD spé math TS

[invited11f0caf]

1. Etablir que, quel que soit (a, b, q) appartenant à Z3,
a ^b = b ^ (a – bq).
La notation ^ désigne le PGCD des entiers relatifs a et b.

2. Montrer que, quel que soit n appartenant à Z,
(5n3 – n) ^ (n + 2) = (n + 2) ^ 38.
3. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que (n + 2) divise (5n3 – n).
4. Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de (5n3 – n) et (n + 2) ?
Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que :

(5n3 – n) ^ (n + 2) = 19.


Salut, pouvez vous m'aidez sahcant que j'ai reussi a demontrer la premiere question
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[invite1237a629]

Plop,

Pas d'bol, c'est moi qui t'ai aidé pour la première

[invited11f0caf]

Pas D'aide??

[invite1237a629]

De 1, tu pourrais mettre un peu des pistes de réflexion.
De 2, c'est de l'impatience douée d'impolitesse que de balancer l'exercice comme ça et de ne pas attendre l'aide qu'on a déjà demandée sur un autre forum...






Edit : moun diou...à moins que vous n'ayez le même exercice ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited11f0caf]

JE ne vois pas ou j'ai balancé l'exercice eh puis c'est possible c'est un exo de BAC donc de plus la question
1
je tiens a dire que je l'ai pas démontré mais le prof nous a dis de l'admettre

[invite1237a629]

Mes sincères excuses alors... Mais c'était tellement gros étant donnée la grande ressemblance entre les deux... Exactement les mêmes espaces...bref

Pour la question 1, c'est démontrable.

Si ça t'intéresse :

 Cliquez pour afficher

Soit d = a ^ b
Soit d' = b ^ (a-bq)

On veut démontrer que d = d'.
On peut utiliser cette méthode : montrer que d|d' puis que d'|d.

Le premier est quasiment immédiat. En effet, si d est le pgcd de a et b, alors il divise a et il divise b.
Donc il divise a-bq (combinaison linéaire de a et b). Donc il divise b ^ (a-bq) = d' (on sait que c'est un diviseur commun à b et (a-bq), mais on ne sait pas si c'est le plus grand).

Le deuxième est un peu plus compliqué, mais sans plus.
d' divise b et d' divise a-bq.
Donc b = d'b'
Et on peut dire que a-bq = kd'
Donc a = kd'+bq = kd' + b'd'q = d'(k+b'q)

Que peux-tu conclure ?

Pour la question 2., essaie justement de te rapporter à la question 1., trouve q tel que 38 = a-bq (et tente de d'identifier a et b)

[invited11f0caf]

alors si j'ai bien compris il faut que je fasse une combinaison linéaire avec A et B afin que les n disparaissent et je devrais trouver 38 c ca?

Puis donc si on calque avec la question n°1 j'en conclut que a=5n^3-n et b= n+2

[invite1237a629]

Oui pour la deuxième question, non pour la première. Enfin pour la première, pas vraiment en fait, ce n'est pas une simple combinaison linéaire car c'est 1*a-bq (un des coefficients est déjà déterminé quoi )

[invited11f0caf]

j'ai essayé plusieurs calcul avec q= 5n² ou q=n² etc... mais soit il me reste des n² ou des n etc... enfaite j'arrive pas à faire disparaitre les n^3 ou alor quand j y arrive , j'arrive pas a faire de même avec les n ^^ vraiment faut trouver une astuce qui ferait disparaître les 2

[invite1237a629]

Eh bien dis toi que :

5n^3-n est un polynôme de degré 3.
(n+2) est de degré 1.
38 de degré 0.

La seule chance pour que 5n^3-n - (n+2)q soit égal à un polynôme de degré 0, c'est que q soit de degré 2 (qui s'écrit de la forme ax²+...... ?)

[invited11f0caf]

AHHHHHHHHHHHHH OKK je vois faut faire le devpment et apres on fait par identification?

[invite1237a629]

Oui

C'est en effet quelque chose qui marcherait.

[invited11f0caf]

MERCCIII donc j'ai trouver pour q =(5n^3-10n-19) eh ca marche

[invite1237a629]

5n^2 plutôt, non ?

Je n'ai pas vérifié, mais ça m'a l'air bon.

Pour la question 3., quand a divise b, quel est le pgcd de a et b ?

[invited11f0caf]

oui escuse moi c bien 5n² ^^ pour la question je refechis et je ten dit de mes nouvelles sinon sans reflechir si A divise B alor le reste est nul donc PGCD (a,b)=0?

[invite1237a629]

Oh que non.

Le reste est nul, certes, mais le pgcd est le dernier reste non nul dans les divisions euclidiennes successives.

pgcd(a,a*d) = ?


PS : j'espère que ce n'est pas pour demain, ou bien que tu réussiras tout (ce que je te souhaite ), mais je dois aller dormir... Bonne chance !