Factorisation polynome et PGCD

[invitedcf42569]

Bonjour à tous, j'ai un problème concernant un exercice où il faut trouver le pgcd de P et Q
P=x⁴+x³-2*x+1 et Q= x³+x+1
Pour trouver le pgcd je pense qu'il faudrait trouver la décomposition en irréductible de chaque polynome. Or étant des polynome du 3ème et 4ème degré je ne vois pas comment faire? Un indice? merci
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[invite2e5fadca]

Tes polynômes sont à coefficient dans , tu peux donc chercher le PGCD dans cette anneaux. Or tu peux vérifier que Q n' pas de racine dans , donc il est irréductible, car de degré 3. De même, P n'a pas de racine dans , donc soit il est soit irréductible, soit le produit de deux polynômes irréductibles de degré 2. Dans les tout les cas, Q ne divise pas P, donc .

[invite995b8ddd]

Bonjour,
une solution plus simple que la factorisation consiste à appliquer l'algorithme d'Euclide, celui-là même utilisé en 3ème pour calculer le PGCD de deux nombres (grâce aux restes des divisions euclidiennes).

[invitedcf42569]

Merci à vous deux. Mais vous dîtes que les coefficients sont dans Q, mais ils sont aussi dans R. Or dans R, Q a des racines... dans ce cas là, comment fait on? Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e5fadca]

En fait le PGCD et invariant selon le corps, c'est à dire que tes polynômes sont dans , mais aussi comme tu l'as dit dans et , cependant le pgcd sera toujours le même.

Ceci provient du fait que pour le calculer tu peux utiliser l'algorithme d'Euclide. Or cette algorithme sera le même quel que soit le corps que tu choisi pour effecteur le calcul. (Par unicité de la division euclidienne)

NB : Je pense que scroux t'a donné une méthode beaucoup plus pédagogique et c'est surement ce qu’attend l'exercice.

[invitedcf42569]

Merci
Une dernière chose: vous dîtes:
"De même, P n'a pas de racine dans Q , donc soit il est soit irréductible, soit le produit de deux polynômes irréductibles de degré 2"
Comment pourrions nous trouver si c'est en effet le produit de 2 polynome irréductible de degré 2, et si c'est le cas, comment déterminer ces 2 polynomes?

[invite2e5fadca]

A ma connaissance, il n'y a pas de réponse générale à cette question. Il faut agir au cas par cas :

- Ici P est aussi irréductible en fait. C'est un polynôme dans et sa réduction dans est . Il n'a pas de racine (Il n'y a que 0 et 1 à vérifier), et le seul polynôme irréductible de degré 2 dans est . (Tout les autres ont une racine). Ainsi, si n'est pas irréductible, alors c'est , ce qui est absurde. Donc est irréductible et par suite P aussi par le critère de réduction (Voir Algèbre de Perrin par exemple).

- En général s'il est réductible, tu peux essayer de décomposer ton polynômes sur et de rassembler certains facteurs. Par exemple essaye de factoriser dans .