Intégrale multiple et changement de variable

[Tiky]

Bonjour,

Je voudrais savoir si j'ai bien saisi le changement de variable sur les intégrales multiples et si mon calcul est juste. Voici l'énoncé.
Soit

On me demande d'intégrer la fonction sur le domaine .
Pour cela on me propose le changement de variable suivant : , et

Je considère la fonction . U est un ouvert à déterminer de telle sorte
que soit un -difféomorphisme de U dans T.

J'ai démontré que et que était bien un -difféomorphisme de U dans T.

J'ai alors l'égalité suivante puisque f est une fonction mesurable positive :
où est le jacobien de en (X,Y,Z). J'ai trouvé que

Finalement en utilisant Fubini-Tonelli :


Edit : la confirmation du jacobien par Wolfram
http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{1-Y%2C+-X%2C+0}%2C+{Y*%281-Z%29%2C+X*%281-Z%29%2C+-XY}%2C+{YZ%2C+XZ%2C+XY}}%29
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[Tiky]

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