Morphisme et groupes cycliques

invite2e5fadca · 22/12/2011, 18h09

Bonjour, je me demandais si on pouvait expliciter tout les morphismes de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Je crois avoir trouvé une réponse, mais je ne suis pas sûr et je n'arrive pas à trouver une référence à ce sujet, donc si vous pouvez vérifier le raisonnement ou si vous avez déjà étudier ce problème, vos commentaires sont les bienvenues.

Soit $\text{[math]}$ . On commence par montrer qu'il existe $\text{[math]}$ morphisme de groupes avec $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ est un morphisme de groupes avec $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .

Réciproquement, soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Notons $\text{[math]}$ un représentant de $\text{[math]}$ . Posons $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Avec l'hypothèse, on a immédiatement $\text{[math]}$ , puisque $\text{[math]}$ . Ainsi $\text{[math]}$ se factorise en $\text{[math]}$ qui vérifie ce que l'on veut.

Après je montre qu'il y a $\text{[math]}$ morphismes de groupes de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Il suffit de compter les x possibles. Notons $\text{[math]}$ le représentant de x compris entre 0 et m-1.
$\text{[math]}$
où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Réciproquement si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . Ainsi les a possibles sont
$\text{[math]}$ d'où le résultat.

Question :
Peut-t-on dire autre chose d’intéressant en général sur ces morphismes ?

Merci tout le monde.

**Seirios** · 23/12/2011, 11h05

Bonjour,

Que signifie $\text{[math]}$ ?

invite2e5fadca · 23/12/2011, 12h36

$\text{[math]}$ désigne l'ordre de x dans $\text{[math]}$ .

J'ai finalement trouvé une référence (Exercice 17) :

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00021.pdf

On remarque au passage, ce que l'on voyait déjà ci-dessus que $\text{[math]}$ est un groupe cyclique de cardinal $\text{[math]}$ .

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