Déterminant d'une matrice par blocs

invitee791e02a · 23/12/2011, 10h46

Bonjour voila on me demande de montrer que $\text{[math]}$

ou A,B,C sont des matrices de $\text{[math]}$ et D une matrice de $\text{[math]}$ tel que CD=DC

la correction écris que $\text{[math]}$

Après il suffit de passer aux déterminant. Mais comment trouve t'on cette opération pour moi c'est loin d'être triviale !
Merci à tous de votre aide

invite899aa2b3 · 23/12/2011, 10h53

Quelques idées : on essaie de mutlplier la matrice de départ par une matrice dont on connait le déterminant. Autant la prendre triangulaire par blocs. Puis comme on sait que $\text{[math]}$ est inversible, on se dit que si on met $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sur la diagonale, on obtient un truc de déterminant 1. Il reste à savoir dans quel ordre les mettre, et à compléter le dermnier trou. Comme on veut faire apparaître $\text{[math]}$ , il est logique de mettre $\text{[math]}$ en haut à gauche. Si on met * dans le dernier trou, comme on veut avoir à droite une matrice triangulaire supérieure, il vaut mieux que $\text{[math]}$ , ce qui mène au choix de $\text{[math]}$ . Ceci "montre" que la formule n'est pas sortie du chapeau ou tombée du ciel.

invitee791e02a · 23/12/2011, 11h45

D'accord c'est plus clair, merci

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