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Déterminant d'une matrice



  1. #1
    Tealc

    Déterminant d'une matrice


    ------

    Oh grand mathématiciens, je m'adresse a vous en tant qu'humble chimiste, xD


    J'ai toujours eu des doutes sur les opérations élémentaires sur les matrices.

    En fait la question que je vous pose c'est de savoir si les opérations élémentaires sur le déterminant d'une matrice est possible ?

    (je crois que oui)
    Mais aussi quelles opérations ? peut-on mélanger les opérations sur les lignes et surl es colonnes ou est-on obligé de faire soit sur les lignes soit sur les colonnes ?

    Merci d'avance

    -----

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  4. #2
    Thos

    Re : Déterminant d'une matrice

    Salut,

    Effectivement tu peux appliquer quelques opérations élémentaires sur les déterminants.

    Tu peux permutter deux lignes (ou deux colonnes) entre elles, mais il faut multiplier le déterminant par -1.

    Transposer la matrice ne change pas son déterminant (donc permutation ligne ou colone c'est pareil).

    Multiplier le déterminant par un nombre (non nul) revient à multiplier une ligne (ou une colone) par (et une colone ou une ligne uniquement, pas tout !).

    Et tu as le droit d'ajouter à une ligne (resp. colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes)

    voilou, c'est tout ce qu'il te faut ?

    bon courage

  5. #3
    Tealc

    Re : Déterminant d'une matrice

    Et tu as le droit d'ajouter à une ligne (resp. colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes)
    peut-on le faire en meme temps, a la fois une opération sur les lignes et sur les colonne sur le meme déterminant ?

  6. #4
    Tealc

    Re : Déterminant d'une matrice

    Dans une correction d'un devoir, ma prof a ecrit la matrice suivante
    (on cherche le polynome caractéristique)

    X -1 -1 -1
    -1 X -1 -1
    -1 -1 X -1
    -1 -1 -1 X

    de cette matrice elle fait une opération sur les colonnes (elle les ajoute toute a la 1ere)
    ca lui fait
    (X-3) -1 -1 -1
    (X-3) X -1 -1
    (X-3) -1 X -1
    (X-3) -1 -1 X

    et ensuite elle écrit qu'elle fait une opération sur les colonnes (mais c'est la que je coince car a mon avis elle a agit sur les lignes,ce qui supposerait donc que l'on peut jouer sur les lignes et les colonnes en meme temps sur un déterminant non ?)

    alors elle a écrit qu'a la colonne 2 -> C2 - C1
    C3-> C3 - C1
    et C4-> C4- C1
    voila ce que ca lui donne

    (X-3) -1 -1 -1
    0 (X+1) 0 0
    0 0 (X+1) 0
    0 0 0 (X+1)

    et je vois pas comment elle a pu arriver la sans passer par les lignes xD

    Bref apres le déterminant est simple c'est (X+3)(X+1)^3

    j'aimerais confirmation de mes remarques svp assez rapidement

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  8. #5
    Crossover

    Re : Déterminant d'une matrice

    Bonsoir,

    En effet, elle n'a pas soustrait les colonnes, mais les lignes, à chaque ligne elle a soustrait la ligne 1...

  9. #6
    God's Breath

    Re : Déterminant d'une matrice

    Citation Envoyé par Tealc Voir le message
    (X-3) -1 -1 -1
    (X-3) X -1 -1
    (X-3) -1 X -1
    (X-3) -1 -1 X

    alors elle a écrit qu'a la colonne 2 -> C2 - C1
    C3-> C3 - C1
    et C4-> C4- C1
    voila ce que ca lui donne

    (X-3) -1 -1 -1
    0 (X+1) 0 0
    0 0 (X+1) 0
    0 0 0 (X+1)

    et je vois pas comment elle a pu arriver la sans passer par les lignes
    Il est clair qu'il s'agit d'opérations sur les lignes :
    L2 <- L2 - L1
    L3 <- L3 - L1
    L4 <- L4- L1

    Pour calculer un déterminant, on peut faire des opérations aussi bien sur les lignes que sur les colonnes, puisqu'une matrice et sa transposée ont même déterminant.

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  11. #7
    Tealc

    Re : Déterminant d'une matrice

    C'est bien ce que je pensais, merci a vous !

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