Dérivée de Lie et Cohomologie

[invite86150b1a]

Bonjour à tous,
Je me demande dans quelle mesure on peut faire interagir les opérateurs de la géométrie differentielle avec la cohomologie de De Rham. Par exemple en géométrie differentielle on définit un tas de dérivées comme la dérivée covariante, la dérivée de lie, la dérivée extérieure.
Qu'est ce qu'on obtient si on on définit la cohomologie à partir de la dérivée covariante au lieu de la dérivée extérieure?
Autre chose ces opérateurs doivent agir sur les differentes cohomologies qu'on peut obtenir. Qu'est ce que donne l'action de la dérivée de Lie sur la cohomologie de De Rhal. Personne ne semble en parler et ca parait quand meme un question interessante.
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[AncMath]

Pour la dérivée covariante une condition nécessaire et suffisante pour définir un complexe est que le fibré soit plat. Ça donne un complexe intéressant à étudier effectivement.
Pour l'action de la dérivée de Lie sur la cohomologie elle est nulle, je te laisse le démontrer c'est très facile.

[0577]

Bonjour,

pour définir une cohomologie, il faut un opérateur de carré nul. C'est le cas de la dérivée extérieure qui donne la cohomologie de de Rham. Pour une dérivée covariante, le carré est exactement la courbure de la connexion (par définition). Il y a donc une cohomologie associée si et seulement si la connexion est plate.

La dérivée de Lie agit trivialement sur la cohomologie de de Rham: cela résulte de la "formule magique de Cartan": l'action d'une dérivée de Lie sur une forme fermée est exacte et donc triviale en cohomologie. Une autre manière d'arriver à la même conclusion est de savoir que la cohomologie de de Rham est un invariant topologique et de remarquer que la dérivée de Lie est l'action infinitésimale du flot engendré par un champ de vecteurs: un tel flot est une famille de difféomorphismes continûment connectés à l'identité et agit donc trivialement sur tout invariant topologique.

EDIT: AncMath viens de répondre la même chose...