Fonction de répartition et son inverse pour une loi bêta B(a,b)

[invitea5398569]

Bonjour,

Je dois terminer un TP de simulations de variables aléatoires. Pour cela, une étape consiste à calculer la fonction de répartition d'une loi Bêta B(a,b) (dont la densité vaut :
,
avec )

D'après mon professeur, ce calcul est possible et donne une formule explicite pour tout a et b entiers, ce dont je doute fortement car malgré mes recherches je n'ai trouvé aucune formule close/explicite si ce n'est une double somme obtenue par intégrations par parties avec des factorielles bien moches grouillant de partout.

Dans le cas de mon TP, ayant on approxime par les entiers les plus proches, soit a = 4 et b = 2, le calcul devient donc possible.
La fonction de répartition est alors calculable pour ce cas particulier et on obtient B(a,b) = B(4,2) = 1/20 et par conséquent :
(Sachant que F(x) = 0 pour x < 0 et F(x) = 1 pour x > 1).

L'idée est d'ensuite inverser la fonction de répartition afin de pouvoir utiliser la méthode d'inversion pour la simulation des variables aléatoires.
Sauf que je ne vois pas du tout comment trouver la fonction réciproque d'un polynôme.

J'ai donc plusieurs questions :

1) Comment calculer la fonction de répartition dans le cas général ? (a,b entiers strictement positifs quelconques)
2) Comment inverser la fonction de répartition dans mon cas spécial(autrement dit trouver G tel que ) et dans le cas général ?

Merci d'avance car j'ai beau chercher, je ne vois aucune solution à ce problème. Mon professeur m'a donné une possibilité pour m'affranchir de ce calcul théorique, mais comme j'aime bien faire les choses j'aimerais bien avoir une idée de solution.
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[gg0]

Bonjour.

1) Effectivement, on peut exprimer la fonction de répartition pour a et b entiers strictement positifs, après tout, il s'agit simplement d'intégrer un polynôme, qu'on peut toujours développer. D'ailleurs, tu trouves bien un résultat pour a = 4 et b = 2. si a ou b est nul, c'est aussi assez élémentaire. Bien entendu, B(a,b) apparaît dans le résultat.
2) l'équation étant de degré 5, il n'y a pas de méthode algébrique générale (*), donc tu ne pourras pas exprimer algébriquement , seulement trouver des valeurs approchées par différents moyens. Sauf pour des cas particuliers (genre a=0 ou 1), c'est la même chose en général.

Cordialement.

(*) Prouvé par Galois. Il y a des méthodes basées sur des fonctions elliptiques.

[invitea5398569]

Bonjour.

1) Effectivement, on peut exprimer la fonction de répartition pour a et b entiers strictement positifs, après tout, il s'agit simplement d'intégrer un polynôme, qu'on peut toujours développer. D'ailleurs, tu trouves bien un résultat pour a = 4 et b = 2. si a ou b est nul, c'est aussi assez élémentaire. Bien entendu, B(a,b) apparaît dans le résultat.
2) l'équation étant de degré 5, il n'y a pas de méthode algébrique générale (*), donc tu ne pourras pas exprimer algébriquement , seulement trouver des valeurs approchées par différents moyens. Sauf pour des cas particuliers (genre a=0 ou 1), c'est la même chose en général.

Cordialement.

(*) Prouvé par Galois. Il y a des méthodes basées sur des fonctions elliptiques.

Je me doutais bien qu'il fallait utiliser des méthodes spéciales pour l'inverse de F.

Quand à la fonction de répartition quelques soient a et b, je trouve l'expression suivante en développant (1-x)^(b-1) par binôme de Newton puis en intégrant :



Et celle-ci en intégrant successivement par parties (en dérivant (1-t) et en primitivant t) :



Difficile d'avancer par la suite pour synthétiser une expression pareille.

[gg0]

Ce sont bien des intégrales exactes. Et des sommes finies Il doit manquer le facteur 1/I dans la première formule.

[A voir en vidéo sur Futura]