Sémantique

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ceci pourrait entrer dans le cadre d'un lexique en mathématique.
Que signifie "rotation" ? Pour moi, c'est une transformation. Une rotation transforme une figure F en une figure F'. Une rotation est définie par un point (ou un axe) et un angle.
On trouve ce terme utilisé lorsqu'il s'agit de mesure d'un angle entre une position A et une position B, ou un point A et un point B. J'avais déjà lu cette imprécision de langage.
Ma question : le terme "rotation" a-t-il évolué ? est-ce une utilisation impropre et ponctuelle de ce terme.
Sur le plan logique, cela revient à faire un amalgame entre fonction et valeur.
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[Seirios]

Bonjour,

Tu pourrais être plus précis dans ta question ? Pour rester dans le cas plan, tu peux trouver une définition toute simple ici. En quoi y a-t-il une imprécision quelque part ?

[Dlzlogic]

Merci Sérios pour ta réponse.
Apparemment, il n'y a pas eu d'extension ou de réduction au terme "rotation". Donc, tout utilisation de ce terme en dehors de ce contexte de transformation est erroné.

[AncMath]

Pour un plan euclidien ce sont les elements de c'est à dire les automorphismes préservant le produit scalaire et de déterminant 1. Pour un plan affine , de direction euclidienne le plus économique est de définir une rotation affine d'origine et de direction ou d'angle ou de partie linéaire comme l'application . Mais elles ne forment pas un sous groupe de l'ensemble des automorphismes affine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a1b1525]

AncMath,
c'est pas la peine de se restreindre à un plan (dim 2) : ce que tu présentes comme définition de "rotation" est valable dans tout espace, de dimension (finie?) aussi grande que l'on veut.

[AncMath]

Oui tout à fait. Je ne sais pourquoi j'ai cru que la discussion se plaçait en dimension 2 mais ce que j'ai dit est valable en n'importe quelle dimension finie.

[AncMath]

En fait tant qu'on y est faisons un peu de maths. L'espace des applications affines d'un espace affine de direction euclidienne est lui même un espace affine de direction le groupe des automorphismes affine est isomorphe au produit semi-direct des automorphismes de par , l'action étant donnée par l'action naturelle de sur . La dedans le sous groupe des isométries affine est donné par le produit semi-direct .
En fait ce sont toutes les isométries d'un espace affine.

En effet quitte à composer par une translation on peut supposer qu'une isométrie a un point fixe et on est ramené à prouver que toutes les isométries fixant 0 d'un espace vectoriel sont linéaires. Mais grace à l'identité de polarisation on voit qu'une telle isométrie notée préserve nécessairement le produit scalaire, mais alors elle transforme tout base orthonormale en base orthonormale. Soit donc une base orthonormale de et soit l'image de cette base par c'est une base orthonormale et il existe une unique isométrie linéaire envoyant sur du coup est une isométrie fixant mais tout s'écrit de manière unique et donc . Donc et .

Si on prend une isométrie linéaire de l'espace euclidien alors elle laisse stable un plan ou une droite en effet elle est diagonalisable dans une base orthonormale du complexifié pour l'extension hermitienne du produit scalaire car elle commute avec son adjoint. Ses valeurs propres complexes sont de module 1. Si on prend celles qui ne sont pas réelles elles sont deux a deux conjuguées ainsi que leurs vecteurs propres associés. De coup pour un tel couple de valeurs propres conjugués et donne une base réelle d'un plan stable de . Comme une isométrie d'un plan est nécessairement donnée par l'action d'une matrice de sur n'importe quelle base orthonormale on voit que possède une décomposition en somme directe orthogonale telle que l'isométrie restreinte à soit l'identité restreinte à soit moins l'identité et à soit une rotation plane d'angle .

Autrement dit il n'y a pas de "nouveau" type d'isométries linéaires en passant de la dimension 1 ou 2 à la dimension , on obtient celles de dimension par somme directe de celles de dimension 1 et 2. Il suffit de composer avec une translation pour obtenir toutes les isométries. En fait et c'est aussi trivial à montrer que ce que je viens d'écrire on peut se contenter de produit de réflexions pour décrire toutes les isométries linéaires.
C'est assez triste.