contraction d'une p-forme avec un p-vecteur

[Amanuensis]

Je n'avais pas compris la notation, c'est tout. J'ai juste chercher une signification compliquée là où j'aurais écrit " , avec S un tenseur symétrique"
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[mach3]

J'utilise les notations que je vois dans ce que je lis. Sommation implicite sur les indices répétés (l'un en haut, l'autre en bas) appliquée à tous les cas (vecteur , 1-forme ou covecteur , contraction covecteur/vecteur , tenseur 2 fois contravariant , le même utilisé comme forme bilinéaire agissant sur un couple de covecteur , etc)

Mes deux dernières questions peuvent sembler triviales pour ceux qui ont bien compris (et d'ailleurs elles commencent à me sembler triviales, ce qui me parait être un bon signe), mais il fallait que je trouve mon propre chemin, notamment pour comprendre ce que signifie : avec I l'idéal.
Je comprends maintenant que certains auteurs mettent en garde contre les trucs du style : . Le terme de droite aura un comportement similaire à celui de gauche dans bien des cas de figure (ce qui peut justifier que d'autres auteurs utilisent ça comme un genre de raccourci), mais si c'est utilisé sans connaissance de cause on aboutit à des désastres comme par exemple ma question initiale...

Pour finir, si j'ai bien compris,

est à prendre comme une définition de <...,...> comme bestiole qui recrache un nombre quand on la nourri avec une p-forme et un p-vecteur, une convention, il ne faut pas chercher à le démontrer.

m@ch3

[Amanuensis]

J'utilise les notations que je vois dans ce que je lis. Sommation implicite sur les indices répétés (l'un en haut, l'autre en bas)

À ce propos, j'aurais pu répondre à la question où vois-je un manque de rigueur en parlant justement des indices. Il y a deux usages qui devraient être distingués par l'écriture (certains le font), les indices indiquant une coordonnée de quelque chose parmi toutes ses coordonnées dans une base donnée, et les indices indiquant un élément d'une base. Dans l'écriture en question, les deux usages sont mélangés, ce qui pour moi pose un problème. Et la sommation implicite a du coup deux significations différentes, l'une un pur raccourci formel, un allègement d'écriture ; l'autre la contraction entre tenseurs.

Les deux usages des indices amènent d'ailleurs des contradictions (qui se résolvent par le contexte, mais qui peuvent troubler) ; on pourra présenter un vecteur comme , abréviation de où B serait la base, s'opposant à , une forme, alors que en tant qu'élément de base est un vecteur et non une forme.

Comme indiqué, on s'en sort en général par le contexte, mais parler de rigueur?

Pour finir, si j'ai bien compris,

est à prendre comme une définition de <...,...> comme bestiole qui recrache un nombre quand on la nourri avec une p-forme et un p-vecteur, une convention, il ne faut pas chercher à le démontrer.

Il me semble que ce n'est que l'application particulière d'une convention dont un autre exemple est

J'aimerais bien la confirmation ou l'infirmation que c'est bien ça.

[Amanuensis]

Corrigendum: lire

et j'aurais pu ajouter

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J'espère que j'y suis arrivé, ce coup-là...

[AncMath]

J'essaie de répondre aux deux postes en 1, ce sera sans doute la meilleure manière de répondre de manière satisfaisante à aucun des 2 .

Il me semble que ce n'est que l'application particulière d'une convention dont un autre exemple est

J'aimerais bien la confirmation ou l'infirmation que c'est bien ça.

(modifié selon les indications du message d'après)

Bon j'ai jamais vraiment cherché à comprendre les notations "indices muets répétés", du coup je fais peut être une erreur d'interprétation sur la formule. Mais la formule semble dire
, avec deux formes linéaires et deux vecteurs . Est ce bien ça ? Peut etre que non en fait, parce que je ne vois pas à quoi servent les indices du coup.

Mais si c'est ça, alors ça ne peut pas être la bonne formule. Parce que ça n'est pas alterné en et en .

Pour finir, si j'ai bien compris,

est à prendre comme une définition de <...,...> comme bestiole qui recrache un nombre quand on la nourri avec une p-forme et un p-vecteur, une convention, il ne faut pas chercher à le démontrer.

Tu peux le prendre comme une définition mais ce qu'il y a à démontrer c'est que c'est la seule définition possible compatible à la dualité.

Comme je l'ai écrit dans mon premier message définir une forme bilinéaire qui associe donc un nombre à c'est par définition même définir une forme -linéaire qui soit alternée en les premiers arguments et alternée en les -derniers.

Une telle forme est donnée par s'envoie sur qui est bien alternée. Et c'est le seul choix qui permet d'identifier avec de manière compatible avec le crochet, c'est à dire tel que l'on envoie sur pour toute base de tout sous espace de . Le théorème, il est là. Il est trivial en fait.

Donc pour revenir au debut de mon message la "bonne" définition est qui elle est bien comme on veut. Peut être c'est ce que veulent dire les indices et la convention implicite, je ne sais pas.

[mach3]

À ce propos, j'aurais pu répondre à la question où vois-je un manque de rigueur en parlant justement des indices. Il y a deux usages qui devraient être distingués par l'écriture (certains le font), les indices indiquant une coordonnée de quelque chose parmi toutes ses coordonnées dans une base donnée, et les indices indiquant un élément d'une base. Dans l'écriture en question, les deux usages sont mélangés, ce qui pour moi pose un problème. Et la sommation implicite a du coup deux significations différentes, l'une un pur raccourci formel, un allègement d'écriture ; l'autre la contraction entre tenseurs.

Les deux usages des indices amènent d'ailleurs des contradictions (qui se résolvent par le contexte, mais qui peuvent troubler) ; on pourra présenter un vecteur comme , abréviation de où B serait la base, s'opposant à , une forme, alors que en tant qu'élément de base est un vecteur et non une forme.

Comme indiqué, on s'en sort en général par le contexte, mais parler de rigueur?

Si LateX le permettait (à moins que je n'aie pas trouvé...), j'aurais mis ce qui était vecteur ou forme en gras (comme c'est souvent l'usage). J'aurais pu aussi mettre une flèche de vecteur à la place, mais quelque part ça me gène d'écrire une forme avec une flèche de vecteur au-dessus.

m@ch3

[Amanuensis]

Mais la formule semble dire
, avec deux formes linéaires et deux vecteurs . Est ce bien ça ? Peut etre que non en fait, parce que je ne vois pas à quoi servent les indices du coup.

L'interprétation est la bonne, et j'aurais naturellement écrit comme ça. J'ai noté avec indices parce que la formule en cause donnée par Mach3 est avec indices.

Donc pour revenir au debut de mon message la "bonne" définition est qui elle est bien comme on veut.

OK, je veux bien l'accepter mais je suis surpris et apprécierais des références externes. Restreindre au cas alterné semble être restreindre à certains usages. Qui plus est, la généralisation à trois ou plus termes dans les produits tensoriels n'est pas immédiate.

N'y a-t-il pas une autre voie, en utilisant des [] ou {} dans l'indexation pour décrire l'antisymétrisation totale?

[Amanuensis]

Si LateX le permettait (à moins que je n'aie pas trouvé...) j'aurais mis ce qui était vecteur ou forme en gras

\mathbf

[Amanuensis]

Au fond ma difficulté de compréhension est la relation entre l'algèbre tensorielle (ou plutôt son extension mélangeant vecteurs et formes) et l'algèbre extérieure , alors qu'il me semble bien comprendre la relation entre le produit tensoriel [TEX]E*\otimes E*[\TEX] et les 2-formes d'un côté et celle entre le produit tensoriel [TEX]E\otimes E[\TEX] et les bivecteurs de l'autre.

[mach3]

\mathbf

merci, c'est marrant, il me semble que j'avais déjà essayé et que ça ne marchait pas... cela dit, ce n'est pas très probant...

Au fond ma difficulté de compréhension est la relation entre l'algèbre tensorielle (ou plutôt son extension mélangeant vecteurs et formes) et l'algèbre extérieure , alors qu'il me semble bien comprendre la relation entre le produit tensoriel et les 2-formes d'un côté et celle entre le produit tensoriel et les bivecteurs de l'autre.

Il semblerait que j'aie le même souci.

m@ch3

[AncMath]

OK, je veux bien l'accepter mais je suis surpris et apprécierais des références externes. Restreindre au cas alterné semble être restreindre à certains usages. Qui plus est, la généralisation à trois ou plus termes dans les produits tensoriels n'est pas immédiate.

N'y a-t-il pas une autre voie, en utilisant des [] ou {} dans l'indexation pour décrire l'antisymétrisation totale?

En fait permettez moi d’être un plus précis. Je peux vous donner des références, même si je n'en vois pas beaucoup comme ça de tête, j'imagine que ça doit être fait dans Algebra de Lang quelque part, mais je ne l'ai pas avec moi.
Je note le produit tensoriel où apparait -fois.

Si on cherche à construire une application naturelle alors bien sûr on peut prendre celle que vous mentionnez . Cette application est la factorisation de qui s'envoie sur la même chose à travers . Cette application identifie à en envoyant sur pour n'importe quelle sous famille d'une bae de .

Cette application naturelle, appelons là pour être précise, NE se factorise PAS à tavers qui est l'application que Mach3 cherche à comprendre. La raison que j'ai donné est qu'elle n'est pas alternée, mais vous pouvez aussi le voir parce que elle ne s'annule pas sur l'idéal engendré par les vis à vis duquel on quotiente.

Dans le cas , on a n'a aucune raison d'être nulle, alors que doit s'envoyer sur 0 dans .

Ça ne peut donc pas être l'application que l'on cherche.

L'application naturelle est construite différement par la procédure que j'ai donné . Elle identifie pareillement le produit extérieur sur le dual au dual du produit extérieur en envoyant ce qu'on veut sur ce qu'on voudrait.

Si on cherche à la voir comme une application qui donne par passage au quotient alors la formule est toujours donnée bien sûr par le déterminant, mais une autre manière, peut être celle que vous vouliez, de l'écrire consiste à utiliser la formule de Lagrange pour le déterminant .[/QUOTE]

Cette application là passe tautolgiquement au quotient

On peut aussi scinder les flèches pour atterrir dans le sous espace des tenseurs anti-symtétriques et la composer avec comme j'ai dit un peu plus haut ou faire encore différemment.

Mais dans tous les cas, ça parait un peu étrange puisque une forme alternée est a fortiori une forme multilinéaire et donc il est bien plus naturel de fabriquer une flèche , ce qu'on a fait quand on a associé à , qui sera alors fonctorielle en tous les sens possible que de vouloir scinder cette flèche en , enfin ici on a pas vraiment voulu scinder la flèche, juste se trouver un antécédent "commode" d'un certain élément de dans . Cet antécédant existe, il est donné par la formule de Lagrange, mais il ne me paraît pas tres commode alors que le reste est si naturel.

J'irai jeter un oeil dans Algebra.

[mach3]

Wow, ça va me prendre du temps pour digérer ça, mais le peu que j'ai déjà compris m'éclaire. En tout cas, je retiendrais ça, que je trouve édifiant :

Cette application naturelle, appelons là pour être précise, NE se factorise PAS à tavers qui est l'application que Mach3 cherche à comprendre. La raison que j'ai donné est qu'elle n'est pas alternée, mais vous pouvez aussi le voir parce que elle ne s'annule pas sur l'idéal engendré par les vis à vis duquel on quotiente.

Dans le cas , on a n'a aucune raison d'être nulle, alors que doit s'envoyer sur 0 dans .

Ça ne peut donc pas être l'application que l'on cherche.

m@ch3

[AncMath]

Attention, il subsiste quelques coquilles, dans la formule de Lagrange par exemple. J'ai demandé à la modération de les rectifier. Cette limite de 5 min d'édition est vraiment handicapante.

[Amanuensis]

Cette limite de 5 min d'édition est vraiment handicapante.

Utiliser "Aller en mode avancé" pour les grands messages, il y a prévisualisation (et la commande TEX).

C'est en fait impératif quand on utilise beaucoup de formules en LaTeΧ, car le compilateur a souvent des comportements bizarres, demandant dans certains cas du temps à trouver comment contourner.

Au passage chapeau si vous avez écrit le message sans le prévisualiser, avec seulement des corrections dans les 5'!!!

[AncMath]

Voici quelques références :
https://math24.files.wordpress.com/2...serge-lang.pdf
voir la proprosition 1.5 du chapître XIX, et l'exerice 3 du même chapitre.
Deux autre références glanées sur le net
http://math.stanford.edu/~conrad/dif...uts/tensor.pdf
la page 11
http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/notes/multi.pdf
la page 7.