Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

[invite51a72fdf]

Bonjour,

Voici l'énoncé de l'exercice

Soit (u_n)n≥0 la suite d´efinie par : u₀ = 0 ; ∀n ∈N, u_n+1 + u_n = n. Calculer u_n en fonction de n.

J'ai réfléchi à cet exercice pendant plusieurs minutes et j'ai essayé de nombreuses opérations avec u_n+1 + u_n = n.
Après de nombreux essais je suis retourné en arrière et je me suis concentré sur les termes de la suite et j'ai remarqué que u₀ = u₁ = 0 u₂ = u₃ = 1 u₄ = u₅ = 2 etc...
J'ai ainsi déduit que U_n = partie entière(n/2).
J'ai essayé de vérifier ma réponse sur internet et la seule que j'ai obtenue correspond à une démarche partielle totalement différente, qui m'a l'air plus rigoureuse. http://forums.futura-sciences.com/ma...-n-1-un-n.html

Est-ce que quelqu'un pourrait l'expliciter ? Aussi, la formule de U_n (avec la partie entière) donnée avec l'explication de la démarche serait-elle suffisante ?
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[AncMath]

Pourquoi ne pas tout simplement écrire une récurrence ?

[Amanuensis]

Aussi, la formule de Un (avec la partie entière) donnée avec l'explication de la démarche serait-elle suffisante ?

Comme réponse rigoureuse? Certainement pas.

une démarche partielle totalement différente, qui m'a l'air plus rigoureuse. http://forums.futura-sciences.com/ma...-n-1-un-n.html

Est-ce que quelqu'un pourrait l'expliciter ?

Quelle est la difficulté de compréhension?

Dans le lien donné on additionne les termes de à , d'un côté directement, de l'autre à partir de l'expression de en fonction de , on simplifie et on tire la conclusion à partir du résultat.

Mais pour l'exercice présent, cela ne marche pas si facilement, voyez-vous pourquoi?

[invite51a72fdf]

En guise de corrigé , le polycopié contenait les indications suivantes :

On exprimera u_n+2 en fonction de u_n, ce qui permettra de calculer u_n en séparant les cas « n pair » et « n impair ».
J'obtiens U_n+2 = U_{n + 1}

n( u_n+2 - u_n) = u_n+1 + u_n = n

n ( u_n + 1 ) - u_n - nu_n - ( u_n+1 ) = 0

n( u_n + 1) - u_n - nu_n - ( n - u_n ) = 0

0 = 0

Je recommence,
pour n pair, un = n/2 et pour n impair j'observe :
1 - 1 = 0
3 - 2 = 1
5 - 3 = 2
7 - 4 = 3 Je vois un motif mais je suis très loin de la démarche à avoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf3b174e]

Bonjour
Vérifie la suivante :
Pour n supérieur à 0
Un = somme de i=1 à i=n de [i x (-1)^i + (-1)^(i+1)]

[invite51a72fdf]

A partir de U₃ je trouve U3 = -1 ça ne marche pas. Je vais garder les traces de recherche et revenir sur le problème lorsque j'aurai plus de maîtrise, je pense qu'il est probable qu'il s'agisse d'une somme télescopique. J'essaierai de poursuivre à partir de ta formule.

[gg0]

Bonjour.


En soustrayant membre à membre, on a U_n+2 en fonction de u_n et de n.

Et comme on a toujours .
ne reste plus qu'à calculer les

Cordialement.

[invitedf3b174e]

A partir de U₃ je trouve U3 = -1 ça ne marche pas. Je vais garder les traces de recherche et revenir sur le problème lorsque j'aurai plus de maîtrise, je pense qu'il est probable qu'il s'agisse d'une somme télescopique. J'essaierai de poursuivre à partir de ta formule.

Bonjour
Vérifie nouvelle formule :
Pour n supérieur ou égale à 2
Un = somme de i=1 à i=n-1 de { i x (-1)^(n+1+i)}

[invite51a72fdf]

Bonjour
Vérifie nouvelle formule :
Pour n supérieur ou égale à 2
Un = somme de i=1 à i=n-1 de { i x (-1)^(n+1+i)}

Je ne vois pas l'intérêt de vérifier la formule sans l'avoir démontrée. Autant garder celle que j'avais trouvée plus auparavant, j'apprécierais que tu m'expliques la démarche utilisée pour élaborer cette somme.