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Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux



  1. #1
    ZetaReticulan

    Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux


    ------

    Bonjour,

    Voici l'énoncé de l'exercice

    Soit (un)n≥0 la suite d´efinie par : u0 = 0 ; ∀n ∈N, un+1 + un = n. Calculer un en fonction de n.

    J'ai réfléchi à cet exercice pendant plusieurs minutes et j'ai essayé de nombreuses opérations avec un+1 + un = n.
    Après de nombreux essais je suis retourné en arrière et je me suis concentré sur les termes de la suite et j'ai remarqué que u0 = u1 = 0 u2 = u3 = 1 u4 = u5 = 2 etc...
    J'ai ainsi déduit que Un = partie entière(n/2).
    J'ai essayé de vérifier ma réponse sur internet et la seule que j'ai obtenue correspond à une démarche partielle totalement différente, qui m'a l'air plus rigoureuse. http://forums.futura-sciences.com/ma...-n-1-un-n.html

    Est-ce que quelqu'un pourrait l'expliciter ? Aussi, la formule de Un (avec la partie entière) donnée avec l'explication de la démarche serait-elle suffisante ?

    -----

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  3. #2
    AncMath

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    Pourquoi ne pas tout simplement écrire une récurrence ?

  4. #3
    Amanuensis

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    Aussi, la formule de Un (avec la partie entière) donnée avec l'explication de la démarche serait-elle suffisante ?
    Comme réponse rigoureuse? Certainement pas.

    une démarche partielle totalement différente, qui m'a l'air plus rigoureuse. http://forums.futura-sciences.com/ma...-n-1-un-n.html

    Est-ce que quelqu'un pourrait l'expliciter ?
    Quelle est la difficulté de compréhension?

    Dans le lien donné on additionne les termes de à , d'un côté directement, de l'autre à partir de l'expression de en fonction de , on simplifie et on tire la conclusion à partir du résultat.

    Mais pour l'exercice présent, cela ne marche pas si facilement, voyez-vous pourquoi?
    Dernière modification par Amanuensis ; 29/05/2017 à 18h21.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  5. #4
    ZetaReticulan

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    En guise de corrigé , le polycopié contenait les indications suivantes :

    On exprimera un+2 en fonction de un, ce qui permettra de calculer un en séparant les cas « n pair » et « n impair ».
    J'obtiens Un+2 = Un + 1

    n( un+2 - un) = un+1 + un = n

    n ( un + 1 ) - un - nun - ( un+1 ) = 0

    n( un + 1) - un - nun - ( n - un ) = 0

    0 = 0

    Je recommence,
    pour n pair, un = n/2 et pour n impair j'observe :
    1 - 1 = 0
    3 - 2 = 1
    5 - 3 = 2
    7 - 4 = 3 Je vois un motif mais je suis très loin de la démarche à avoir.

  6. #5
    iharmed

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    Bonjour
    Vérifie la suivante :
    Pour n supérieur à 0
    Un = somme de i=1 à i=n de [i x (-1)^i + (-1)^(i+1)]

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ZetaReticulan

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    A partir de U3 je trouve U3 = -1 ça ne marche pas. Je vais garder les traces de recherche et revenir sur le problème lorsque j'aurai plus de maîtrise, je pense qu'il est probable qu'il s'agisse d'une somme télescopique. J'essaierai de poursuivre à partir de ta formule.

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  10. #7
    gg0

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    Bonjour.


    En soustrayant membre à membre, on a Un+2 en fonction de un et de n.

    Et comme on a toujours .
    ne reste plus qu'à calculer les

    Cordialement.

  11. #8
    iharmed

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    Citation Envoyé par ZetaReticulan Voir le message
    A partir de U3 je trouve U3 = -1 ça ne marche pas. Je vais garder les traces de recherche et revenir sur le problème lorsque j'aurai plus de maîtrise, je pense qu'il est probable qu'il s'agisse d'une somme télescopique. J'essaierai de poursuivre à partir de ta formule.
    Bonjour
    Vérifie nouvelle formule :
    Pour n supérieur ou égale à 2
    Un = somme de i=1 à i=n-1 de { i x (-1)^(n+1+i)}

  12. #9
    ZetaReticulan

    Re : Suite avec termes couples de termes consécutifs égaux

    Citation Envoyé par iharmed Voir le message
    Bonjour
    Vérifie nouvelle formule :
    Pour n supérieur ou égale à 2
    Un = somme de i=1 à i=n-1 de { i x (-1)^(n+1+i)}
    Je ne vois pas l'intérêt de vérifier la formule sans l'avoir démontrée. Autant garder celle que j'avais trouvée plus auparavant, j'apprécierais que tu m'expliques la démarche utilisée pour élaborer cette somme.

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