2 vecteur concourant avec inconnus

[invited7e22698]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de math a résoudre mais une notion me manque et je ne parviens pas à mettre le doigt dessus.

J'ai 2 vecteurs :

D1 : A(-3,0,-4) et B(a,a,5)
D2 : (x+3)/2 = y - 1 = (z+2)/a

Mon but est de trouver l'inconnu a pour que les vecteurs soit concourant. Je n'y parviens pas. Il est simple de trouver l'inconnu a dans l'éventualité ou les vecteurs sont perpendiculaire ou parallèle mais pas dans ce cas-ci. Un notion me manque ou il y a une notion des vecteurs que je n'ai pas compris.

Votre aide serait apprécié.

Merci.
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[NicoEnac]

Bonjour,

Dire que 2 vecteurs sont concourants n'a pas de sens... Je pense plutôt que D1 et D2 sont des droites de l'espace et qu'on cherche à ce qu'elles soient concourantes.

La première est définie par deux points tandis que l'autre est définie comme intersections de plans ((x+3)/2 = y-1 et y-1 = (z+2)/a).

[NicoEnac]

Cherchons donc M € D1 inter D2.
Si M € D1, alors il existe un réel k, différent de 0, tel que : AM = k.AB (vecteurs).

On obtient le système suivant :
x_M = t.(a+3) - 3
y_M = t.a
z_M = 9.t+4

Or d'après nos hypothèses, M € D2 donc (x_M+3)/2 = y_M - 1 = (z_M+2)/a

En utilisant ces propriétés, tu devrais pouvoir trouver a (et t par la même occasion).

[invited7e22698]

Effectivement je veux rendre ces 2 vecteurs concourants. C'est Le M qui me manquait je crois. L'équation paramétrique j'avais trouver. Mais le M représente quoi exactement ?

Merci de ton aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Effectivement je veux rendre ces 2 vecteurs concourants.

Je le répète (je chipote un peu), 2 vecteurs concourants, ça ne veut rien dire. 2 droites concourantes, oui. Bref...

Concernant M, on suppose qu'il existe un point d'intersection entre les 2 droites D1 et D2 et on l'appelle M. On cherche ses coordonnées et si on n'arrive à une solution unique, cela signifie que les droites sont concourantes.

S'il est donc point d'intersection de D1 et D2, il appartient premièrement à D1. Donc AM est colinéaire à AB. Ce simple fait nous donne les équations données plus haut.

Deuxièmement, il appartient à D2. Donc ses coordonnées vérifient (x_M+3)/2 = y_M - 1 = (z_M+2)/a

[invited7e22698]

Donc je doit rendre égale mes 2 équations paramétriques.

D1
x = s.(a+3) - 3
y = s.a
z = 9.s-4

D2
x = -3+2.t
y = 1 + t
z = -2+a.t

-3+s.(a + 3) = -3+2.t
a.s = 1 + t
-4 + 9.s = -2 + a.t

Devient donc :

s.(a+3) - 2.t = 0
a.s - t = 1
9.s - a.t = 2

Est-ce que je procède de la bonne façon ?

Ps : Je suis mélangé pas à peu près loll.

[NicoEnac]

D1
x = s.(a+3) - 3
y = s.a
z = 9.s-4

OK avec ça !

D2
x = -3+2.t
y = 1 + t
z = -2+a.t

Ceci est une équation paramétrique de D2, en effet, mais je pensais à une solution beaucoup plus simple.

Prends tes équations paramétriques de D1 et injecte les dans (x+3)/2 = y - 1 = (z+2)/a et vois ce que ça donne.

[invited7e22698]

Oui donc ca me donnerais :

((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / 2

[NicoEnac]

((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / 2

Très bien !
Considérons maintenant la partie droite de cette double égalité :
a.s - 1 = (9.s- 2) / 2 et essayons d'exprimer a en fonction du reste...

[invited7e22698]

correction :
((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / 2 devrait être a

donc :

((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / a

[NicoEnac]

Exact. Je n'y ai pas prêté attention (mea culpa). Le raisonnement exprimé plus haut n'en reste pas moins valable mais avec la partie gauche de la double égalité (plus simple).

[invited7e22698]

((a+3).s)/2 = a.s - 1

(a+3).s = 2.a.s - 1
a.s + 3.s = 2.a.s -1
3s = a.s - 1
3s + 1 = a.s
(3s+1) /s = a ?? Ou je me suis tromper quelque part.

[NicoEnac]

Petite erreur :

((a+3).s)/2 = a.s - 1

(a+3).s = 2.a.s - 2 pas 1 !

[invited7e22698]

oups oui effectivement j'ai 2 mais j'ai mal tapper. faute de frappe

[NicoEnac]

En attendant le résultat n'est pas bon à cause de cette erreur.

[invited7e22698]

Donc :

(3s+2) /s = a ??

[NicoEnac]

Voilà maintenant prends l'autre partie de la double inégalité et remplace a par ce que tu viens de trouver. Tu trouveras la valeur de s. Tu pourras en déduire celle de a. Mais surtout, le fait d'avoir trouvé une seule solution te garantit qu'il existe un seul point d'intersection et donc que les droites D1 et D2 sont concourantes.

[invited7e22698]

donc ca me donne :

(9s-2) / ((3s+2)/s)

Mais j'ai un petit oubli... pour enlever ma division il faut que je multiplie l'autre coté mais je n'ai pas d'égalité dans ce cas...

[NicoEnac]

Lol lorsque je parle de la partie droite de la double égalité, il s'agit de "a.s - 1 = (9.s- 2) / a"

[invited7e22698]

apres quelques heures de mal de tête ma réponse est a=-8 et elle est valider.

Merci encore de ton aide.

[invited7e22698]

Ok j'ai tricher... j'ai résoud l'équations avec un solveur en ligne... j'ai une petite lacune au niveau des équations complexes. Je crois que c'est un blocage psychologique loll.

pour résoudre l'équation :

(3s+1)/s = (9s-2)/((3s+2)/s)

Comment procéder d'un façon simple ??

[invited7e22698]

j'ai trouver comment... merci quand même.