Bonsoir,
J'étais en train de regarder des bases de méthodes numériques et j'étais en train de démontrer le théoème du point fixe pour les applications contractantes mais dans tous les livres que j'ai ouvert je trouve une démonstration différente de la mienne, or comme la mienne est beaucoup plus simple je me dis que j'ai du faire une erreur mais je ne la vois pas.
En gros dans la démonstration on veut montrer que si g est L-contractante alors toute suite définie par xn+1=g(xn) converge vers le point fixe de g. Pour ça on veut montrer que cette suite est de Cauchy vu que cela montre qu'elle a une limite et que cette dernière est forcément le point fixe.
Tous les livres font :
|xn+q - xn| <= Σpour k= 1,...,q de |xn+k-xn+(k-1)| . Or comme |xn+k-xn+(k-1)| <= L(n+k-1) |x1-x0|
D'où |xn+q - xn| <= Σpour k= 1,...,q de L(n+k-1) |x1-x0| = |x1-x0| * Ln * Σpour k= 1,...,q de L(k-1) =
|x1-x0| * Ln* (1-Ln)/(1-L) ce qui tend comme L<1 vers |x1-x0| * 0 * 1/(1-L) = 0 et donc (xn) est de Cauchy.
Bon moi je fais :
|xn+q-xn| = |g(xn+q-1)-g(xn-1)| <= L |xn+q-1-xn| = [...] <= Ln |xq-x0| ce qui tend vers 0 et la suite est de Cauchy.
Est-ce que je me trompe quelque part ?
D'avance merci
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