question générale sur les différences finies

[maatty]

Bonjour à tous,

je suis en train de travailler sur un notion que je n'avais jamais abordé auparavant et pour laquelle je ne dispose d'aucun livre; la résolution approchée d'équations aux dérivées partielles par différences finies.
Pour la discrétisation de l'équation de la chaleur, il est proposé deux schémas; l'un explicite et l'autre explicite. Je comprends bien(?) la différence entre les deux mais je ne vois pas l'intérêt d'une approche par rapport à l'autre; plus particulièrement:
- quel est l'intérêt de la méthode implicite
- comment choisit-on entre les deux en fonction du problème et quels sont les avantages (et inconvénients) de l'une et l'autre (ça fait beaucoup!!)?

Je vous remercie par avance
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

En gros (mais cela dépend beaucoup du problème considéré):

Méthode explicite: évaluation rapide pour chaque pas de temps, mais stabilité réduite --> pas de temps petit --> il faut beaucoup de pas de temps pour modéliser sur un intervalle de temps donné.

Méthode implicite: bien plus stable --> pas de temps plus grands --> il faut relativement peu de pas de temps pour modéliser sur un intervalle de temps donné. Inconvénient: l'évaluation de chaque pas de temps est plus longue (il faut la plupart du temps résoudre un système matriciel, voire un système non-linéaire*).

*C'est ici qu'il y a une dépendance avec le problème considéré. Si le système matriciel est facilement inversible (dépendant du conditionnement de la matrice) et/ou creux et/ou petit et/ou analytique**, sa résolution peut se faire rapidement et la méthode implicite devient alors intéressante.

**Et relativement facile à retranscrire à la main ou au moyen d'un logiciel existant. Hors problèmes "académiques", cela n'arrive presque jamais.


A noter que la résolution numérique d'un problème sous forme implicite demande en général plus de mémoire que celle de même problème sous forme explicite (souvent du fait qu'il faut stocker une matrice qui peut être "grande"). Il arrive que l'on doive utiliser la forme explicite parce que l'implicite demanderais trop de mémoire...

[maatty]

Merci beaucoup pour cette réponse claire et rapide.