Probabilités

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Une urne contient boules rouges et vertes ( indiscernables par le toucher )
On tire une boule de l'urne :
- Si la boule est rouge, on tire simultanément boules parmi les boules restantes.
- Si la boule est verte, on tire successivement et sans remise boules parmi les boules restantes.
Quel est le nombre possible du tirage ?
Calculer la probabilité d'obtenir boules ayant meme couleur.

Voici le corrigé de l'exercice depuis mon annales :

On a possibilités de tirer une boule rouge de l'urne, et possibilités de tirer simultanément boules parmi les boules restantes.
On a possibilités de tirer une boule verte de l'urne et possibilités de tirer successivement et sans remise boules parmi les boules
restantes.
D'où, le nombre de tirages total est : où est l'univers de probabilités.

A = '' Obtenir boules de meme couleurs'' : verts ou rouges.
Soient :
= '' La boule tirée la première fois est rouge''
= '' Les boules tirées dans la seconde fois sont rouges ''
= '' Les boules tirées dans la seconde fois sont vertes ''
= '' La boule tirée la première fois est verte ''

On a : et .
D'où :
C'est à dire :

Alors ma question est dans ce qui suit :
On a écrit çi - dessus que : et que :

Ce qui signifie que : et que :
Comment ont-ils su que : et que : ?

Merci d'avance.
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[joel_5632]

Bonjour

Personnellement je ne vois pas de différences entre:

- on tire simultanément 2 boules parmi les boules restantes
- on tire successivement et sans remise 2 boules parmi les boules restantes

[gg0]

Bonjour.

la première question "Quel est le nombre possible de tirages ?" n'est pas clairement définie, car on ne sait pas quelle est la définition de "tirage" : l'ordre des boules intervient-il ? ou non. distingue-t-on à la fin les boules de même couleur ? ou non. L'utilisation d'arrangements semble vouloir dire qu'on utilise bien un ordre et qu'on distingue toutes les boules. Mais alors que fait-on pour l'ordre des deux boules tirées simultanément ?

Donc un énoncé tellement rendu compliqué par son auteur (volonté d'utiliser plusieurs outils à la fois) qu'il en devient absurde.

Anonyme007, si ce n'est pas un exercice imposé par un prof dont tu es l'élève, laisse tomber ce genre d'absurdité. D'ailleurs il est fréquent de trouver des demandes de dénombrement mal formulées.

Pour les probabilités conditionnelles dont tu parles, il suffit de regarder comment se fait le deuxième tirage. Par exemple, si on a tiré une boule rouge, il reste à tirer 2 rouges, sans ordre parmi 6 boules dont 3 sont rouges.

A noter : le calcul de probabilités n'utilise pas le dénombrement précédent, et peut se justifier correctement si on suppose qu'il y a un univers des possibles que l'on ne précise pas.

Cordialement.

[Anonyme007]

Bonjour,

Personnellement je ne vois pas de différences entre:

- on tire simultanément 2 boules parmi les boules restantes
- on tire successivement et sans remise 2 boules parmi les boules restantes

La première utilise , et la deuxième utilise .

Anonyme007, si ce n'est pas un exercice imposé par un prof dont tu es l'élève, laisse tomber ce genre d'absurdité. D'ailleurs il est fréquent de trouver des demandes de dénombrement mal formulées.

Je ne peux pas car je le trouve très beau et englobe plusieurs applications de dénombrement à la fois, et de théorie d'ensembles aussi. Il est très joli. Je n'ai aucun mal à saisir la première question qui met en jeu et qui traduisent les mots subjectives : ''ou'' et ''et'', mais le problème est dans la question qui traite des probabilités conditionnelles.

Pour les probabilités conditionnelles dont tu parles, il suffit de regarder comment se fait le deuxième tirage. Par exemple, si on a tiré une boule rouge, il reste à tirer 2 rouges, sans ordre parmi 6 boules dont 3 sont rouges.

On a : d'après le corrigé. Mais, je n'arrive pas à saisir d'où vient la division dans cette formule : . Je n'arrive pas comprendre ce point.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

La première utilise , et la deuxième utilise .
.

c'est se compliquer la vie pour rien de considérer le second cas comme un arrangement.
car dans la recherche de proba , cela suppose de compter le nb de cas possibles aussi comme des arrangements.
( ce qu'en plus on ne fait jamais en pratique dans le cas de tirage de boules )
Or la division fait disparaître le 2! donc cela revient au même que de rester avec les combinaisons.

[gg0]

je n'arrive pas à saisir d'où vient la division

Comme d'habitude en proba sur des univers finis avec équiprobabilité : nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles.

Cordialement.

"car je le trouve très beau et englobe plusieurs applications de dénombrement à la fois" Tu fais des maths ou seulement de la littérature ?

[Anonyme007]

Comme d'habitude en proba sur des univers finis avec équiprobabilité : nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles.

Ah d'accord, alors : où représente le nombre de cas favorables qui est le nombre de fois d'obtenir simultanément boules rouges parmi les deux boules rouges restantes dans le - ième tirage après avoir tiré une boule rouge dans le premier tirage, divisé par le nombre cas possibles qui est le nombres de tirages d'obtenir simultanément boules rouges parmi les boules de l'urne restantes dans le -ième tirage après avoir obtenu une boule rouge dans le premier tirage, ça donne donc : .
Sauf que dans le corrigé, j'ai au lieu de dans . C'est juste une erreur de frappe, non ?

Merci d'avance.

[gg0]

Que c'est confus ! As-tu relu l'énoncé ?

D'abord, une fois tirée une boule rouge, il en reste 3. Et les cas possibles sont les tirages de 2 boules. C'est tout !

[Anonyme007]

D'accord, merci. J'ai cru qu'il y'avait trois rouges au lieu de 4 au total dans l'urne. D'accord, merci.

[ansset]

non , c'est bien
et pas
car au départ il y a 4 rouges.
si on en tire une, il en reste donc 3 pour le deuxième tirage donc le nb de poss = 2 parmi 3
au dénominateur c'est 2 parmi 6 ( 7 - 1 boule rouge déjà sortie )

[Anonyme007]

Oui, c'est ça, merci ansset.

[Anonyme007]

Voici la suite, ou la fin de l'énoncé , pour être mieux claire, ainsi que son corrigé :
En sachant qu'on a obtenu exactement boules vertes. Calculer la probabilité que la boule tirée dans le premier tirage soit verte.

Corrigé :

Soient :
A_1 = ''La boule tirée dans le premier tirage est rouge''
B_1 = ''Les boules tirées dans le second tirage sont vertes''
C = ''Les boules tirées dans le second tirage sont de couleurs différentes''
E = ''Parmi les boules tirées il y'a exactement boules vertes''
Il est demandé donc de calculer
On a :
On a : et
D'où :

D'où :
On a :
D'où :
D'où :

Mes questions sont les suivantes :

Dans :


Comment ont-ils su que : et ?

Comme tu l'as expliqué précédemment gg0, la probabilité est le rapport du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, mais je vois mal
comment ça pourrait donner comme résultat : . et ?

Merci d'avance.

[gg0]

C'est amusant, ce corrigé qui utilise des notations compliquées pour des choses très simples. parler de nombre d'arrangements de 1 objet pris parmi 2 (ou 4) est une cuistrerie ! D'ailleurs prendre un objet "dans l'ordre" est idiot. Il n'y a pas d'ordre quand on ne prend qu'un seul objet.

Le mieux serait que tu calcules très simplement ces probabilités en oubliant ton "corrigé", en cherchant concrètement comment tu peux obtenir les deux boules vertes (et deux seulement) suivant que tu as tiré au départ une boule verte ou une boule rouge.
Et si tu n'essaies pas toi-même de faire ces calculs assez simples, la lecture d'un corrigé ne sera utile que s'il est très détaillé (pourquoi choisir justement ces événements ?) et que tu l'accompagnes d'une réflexion personnelle. Avec ce "corrigé", c'est bien des efforts inutiles !

Cordialement.

[Amanuensis]

Je vais peut-être écrire une ânerie, mais en cas de tirages sans remise, la probabilité du résultat final est indépendante de l'ordre des tirages.

Donc si le résultat final est deux vertes et une rouge, la probabilité que le premier tirage soit vert est de 2/3, car les tirages avec ordre sont VVR, VRV et RVV, deux cas favorables sur trois.

[Amanuensis]

Ânerie oui, parce que mal exprimé. La propriété est que les ordres de tirage sont équiprobables conditionnellement au résultat complet, il me semble. Ce serait une généralisation d'une propriété aisée à montrer pour deux tirages:

P(T1 = V) P(T2=R | T1 =V) = P(T1 = R) P(T2=V | T1 = R)

(Ici 3/7 4/6 = 4/7 3/6)

(Les cas RR et VV se traitent pareil)

[C'est expliqué dans le Jaynes, mais je ne l'ai pas sous la main, donc j'essaye de "reconstruire"...)

OK, vu comme cela c'est de l'arme lourde!

[ansset]

pas exactement car il n'y a pas le même nb de boules vertes et rouges !
croisement des mess.

[Anonyme007]

En fait, c'est très simple, il me semble que le corrigé a parfaitement raison meme si ça n'a pas trop plu à gg0 la formulation de ce corrigé.
Voiçi pourquoi :
représente la probabilité que les boules tirées dans le second tirage sont de couleurs différentes sachant que la boule tirée dans le premier tirage est verte, c'est à dire représente la probabilité d'obtenir : ou , et avec est le nombre de tirages d'obtenir boule verte parmi boule vertes après avoir tiré boule verte dans le premier tirage, c'est pourquoi il ne reste que boules vertes dans le seconde tirage ( tirage sans remise ), fois ( et ) le nombre de tirage de boule rouge parmi les boules rouges de l'urne. Le dénominateur est , parce que on tire boules parmi boules restantes après avoir tiré dans le premier tirage une boule verte ( tirage sans remise ).
avec : est le nombre de tirages d'obtenir boule verte parmi boule verte après avoir tiré boule verte dans le premier tirage, c'est pourquoi il ne reste que boules vertes dans le seconde tirage ( tirage sans remise ), fois ( et ) le nombre de tirage de boule rouge parmi les boules rouges de l'urne. Le dénominateur est , parce que on tire boules parmi boules restantes après avoir tiré dans le premier tirage boule verte ( tirage sans remise ).
Par conséquent,

Pour : , elle représente la probabilité que les boules tirées dans le second tirage sont vertes sachant que la boule tirée dans le premier tirage est rouge. c'est à dire représente la probabilité d'obtenir : , et avec est le nombre de tirages simultanés de boules vertes parmi les boules vertes de l'urne, et est le nombre de tirages de boules parmi les boules restantes après avoir tiré boule rouge dans le premier tirage ( sans remise ).

[gg0]

Ammanuensis,

pour corriger ton message #14, il suffit de supposer que le résultat final ne dépend pas de l'ordre des tirages.

Un exemple classique est le jeu avec 10 boites et 10 concurrents. Une boite contient un lot, les 9 autres sont vides. l'ordre de choix des boites par les concurrents n'intervenant pas en fait (*), chacun à une chance sur 10 de gagner, même le dixième qui n'a pas eu le choix.

Cordialement.

(*) Il suffit d'imaginer qu'une fois le choix fait, c'est le n-ième qui ouvre sa boite en premier. Par équiprobabilité des boites, il a la même proba que le premier.

[Amanuensis]

Je pense que le message #15 corrige le message #14.

[gg0]

Tout à fait !

Je présentais simplement une idée élémentaire.