methode des differences finies

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

soit u l'application de R[X] dans lui meme : P--->uP=P(X+1)-P(X)

1) montrer que u est un endomorphisme de l'espace vectoriel R[X]

2)determiner le noyau de u

3)montrer que pour tout n> ou egal à 1 : u(R_n[X])=R_n-1[X]
en deduire Im u

j'ai reussis les deux premieres questions mais la troisieme me pôse probleme

je m'explique :

dans mon corrigé ils marquent ceci:

deg(uP)<deg(P) donc u(R_n[X]) est inclus dans R_n-1[X].soit u_n la restriction de u à R_n[X].appliquons le theoreme du rang à u_n
dim ker u_n =1 donc dim Im u_n=n

on a donc dim u(R_n[X])=dim R_n-1[X] d'ou l'egalité :

u([R_n[X])=R_n-1[X]

on en deduit que u est surjective donc Im u =R[X]


je ne comprends rien du tout à cette correction


pouvez vous m'expliquez svp ?

merci par avance.
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[invite97a92052]

Hello,

deg(uP)<deg(P)

ça je suppose que tu sais le faire

donc u(R_n[X]) est inclus dans R_n-1[X].

Soit P quelconque dans R_n[X].
deg(uP)<deg(P) donc deg(uP) < n, et donc deg(uP) <= n-1, donc uP est dans R_n-1[X].
Ceci étant valable pour tout P dans R_n[X], on a que u(R_n[X]) est inclus dans R_n-1[X].

soit u_n la restriction de u à R_n[X].appliquons le theoreme du rang à u_n
dim ker u_n =1 donc dim Im u_n=n

En effet, dim ker u_n + dim Im u_n = dim(R_n[X]) = n+1.
Or, dim ker u_n tu dois pouvoir le déduire directement de la question 2.

on a donc dim u(R_n[X])=dim R_n-1[X] d'ou l'egalité :

u(R_n[X])=R_n-1[X]

En effet, on a dim Im u_n=n
Or, Im u_n = u(R_n[X]) par définition de u_n.
Et de plus u(R_n[X]) est inclus dans R_n-1[X]. (première etape de la démo)
Ainsi, Im u_n = u(R_n[X]) est un sous espace de R_n-1[X] de dimension n, c'est donc forcément R_n-1[X] tout entier (théorème de base concernant les espaces vectoriels, si tu ne le connais pas il faut que tu travailles ton cours)

on en deduit que u est surjective donc Im u =R[X]

En effet, soit P un polynôme de R[X], de degré n (avec n >= 0).
P est donc dans R_n[X] est est donc dans l'image de R_n+1[X] par u d'après ce qu'on vient de prouver. Donc P a au moins un antécédent par u. Ceci est valable pour tout P, et donc u est surjective, et Im u =R[X]

[invite69d45bb4]

deg(uP)<deg(P) donc deg(uP) < n, et donc deg(uP) <= n-1
pourquoi c'est in ferieur ou egal et pas plutot strictement inferieur

En effet, dim ker u_n + dim Im u_n = dim(R_n[X]) = n+1.
pourquoi c'est egal à n+1
pourquoi ne peut ont pas appliquer le theoreme du rang à u
que signifie u_n la restriction de u à R_n[X]
et pourquoi va t elle servir à appliquer le theoreme du rang


P est donc dans R_n[X] est est donc dans l'image de R_n+1[X]
pourquoi R_n+1[X] c'est le n+1 que je pige pas

[invite97a92052]

deg(uP)<deg(P) donc deg(uP) < n, et donc deg(uP) <= n-1
pourquoi c'est in ferieur ou egal et pas plutot strictement inferieur

si tu as 2 entiers m et n vérifiant m<n, alors tu as automatiquement m <= n-1 (3 < 4 donc 3 <= 3 )

En effet, dim ker u_n + dim Im u_n = dim(R_n[X]) = n+1.
pourquoi c'est egal à n+1

Car une base de R_n[X] est (1, X, X², ..., Xⁿ), qui a n+1 éléments

pourquoi ne peut ont pas appliquer le theoreme du rang à u

parce que R[X] est de dimension infinie, et que le théorème du rang n'a de sens qu'en dimension finie.

que signifie u_n la restriction de u à R_n[X]

ça signifie que u_n est une autre application, qui est définie UNIQUEMENT sur R_n[X], et qui est égale à u sur cet ensemble (R_n[X]).

et pourquoi va t elle servir à appliquer le theoreme du rang

car R_n[X] est de dimension finie ce qui permet d'appliquer le théorème

P est donc dans R_n[X] est est donc dans l'image de R_n+1[X]
pourquoi R_n+1[X] c'est le n+1 que je pige pas

J'aurais peut etre du écrire : soit P dans R_n-1[X] ; alors il a au moins un antécédent par u dans R_n[X], cela revient au même. (si tu ne comprends toujours pas, la réponse est dans la première question du 3) )

[A voir en vidéo sur Futura]