Discrétisation par la méthode des différences finies

[invite7013f439]

Bonjour,

je souhaiterais discrétiser un opérateur différentiel sur un intervalle [a,b] puis le faire agir sur des fonctions, pour cela, j'emploie la méthode des différences finies. Sur le principe, tout marche, j'obtiens les bons résultats, mais j'ai un probléme aux bords, en effet en utilisant la méthode d'Euler "forward", je ne peux pas estimer la fonction sur laquelle agit agit l'opérateur au point b, en utilisant la méthode d'Euler "backward", je ne peut pas estimer la fonction au point a. Ma question est donc comment faire? Je pensais éventuellement utiliser une combinaison linéaire des deux méthodes, mais alors comment choisir le poids de chacune, et est-ce correct?

Je vous remercie d'avance de considérer ma question.
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[invitebfb070ef]

Oui c'est correct mais il faut faire attention...
Cela porte le nom de méthodes de Runge-Kutta, Crank-Nikolson, etc...
En matière de différence finies, "tout est possible", mais il faut rester cohérent.
En ce qui concerne les "poids", la "qualité" des solutions approchées obtenues pourra t'indiquer si un choix et meilleur qu'un autre, où alors ton oeuil expert...

[invite6f25a1fe]

On peut effectivement faire ca et on vérifie ensuite que l'on aura bien convergence avec ce schéma, par exemple en s'assurant de la consistance et de la stabilité du schéma (cf. Th de Lax)

[naffrancois]

generalement ce n'est pas trop conseille d'utiliser des schemas multiples afin de traiter les bords, mais si il n'y a pas de contraintes d'ordre, on peut utiliser un decentrage forward en a ,centrage sur l'interieur du domaine et bacward en b

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7013f439]

Merci pour vos réponses, je vais implémenter tout ça et vous redirait si tout marche bien.

@naffrancois: juste une question, qu'entends-tu par contraintes d'ordre?

[naffrancois]

si on t'impose l'ordre de la methode (par exemple 2 si le schema est ), il se peut qu'en utilisant des schemas differents pour traiter les frontieres, on perde un ordre de precision, je ne peux malheureusement pas te donner beaucoup plus de details la-dessus, je sais que dans le domaine ou je bosse on evite depuis longtemps (CFD), de plus je vois mal comment analyser la stabilite (au sens de Von Neuman par ex). Mais rassure-toi, en principe tu ne devrais pas te preoccuper de ces considerations la, d'ailleurs Euler est d'ordre 1. Quelle equation dois-tu discretiser ?

[invite7013f439]

Merci. En fait je discrétise des opérateurs des équations définissant les polynômes orthogonaux (types Legendre, Jacobi, etc...) c'est en regardant la tête des vecteurs propres (les polynôme ortho) une fois l'opérateur appliqué, que je peux juger si le schéma de discrétisation est satisfaisant.

[invite03e0db62]

Bonjour

Je suis en train de lire un cours sur les différences finies et je ne comprends pas bien la différence entre l'approche par éléments finis et l'approche par différences finies

Merci de votre assistance

Cordialement