Tenseur de torsion sur une variété de dimension 2 ?

[invitea85e8eeb]

Bonjour à tous,

Une petite question de géométrie différentielle de la part d'un non-spécialiste.

Je cherche à comprendre ce que représente le tenseur de torsion d'une connexion affine. Les "intuitions" générales que j'ai pu rencontrer la présentent comme une rotation des vecteurs lors de leur transport parallèle. Il semblerait donc que ce phénomène ne puisse se produire que dans des variétés de dimension 3 et plus.

Mais je n'arrive pas à prouver mathématiquement que la torsion est toujours nulle sur une variété de dimension 2, quelle que soit la connexion affine considérée. Intuitivement ça semble faire appel au théorème de Schwarz (égalité des dérivées secondes croisées) mais je n'en suis pas sûr.

Donc : Est-ce vrai que la torsion est toujours nulle en dimension 2 ? Si oui comment le prouvez-vous ? Et si non, avez-vous un contre-exemple (j'y crois peu) ? Je suis sûr que ça prend deux lignes mais j'ai du mal avec ce type de calculs, et vu que j'essaye d'aprendre seul...

Mille mercis d'avance,
Noucho
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[invitea85e8eeb]

Je commente mon post précédent : après seconde réflexion il me semble plus plausible qu'on *puisse* bien avoir une torsion non nulle en dimension 2. En effet, lorsqu'on définit une connexion il n'y a --à ce que je sache-- aucune restriction sur les choix des symboles de Christoffel de la connexion, donc rien n'empêche d'imposer une torsion non nulle, même en dimension 2... A moins qu'il existe des contraintes que j'ignore dans le choix des symboles de Christoffel pour bien définir une connexion ?
SI ce que je dis est vrai, la nouvelle question serait donc plutôt : Pourquoi l' "intuition" pour l'effet d'une torsion (cf http://en.wikipedia.org/wiki/Torsion...ference_frames) est-elle plutôt donnée en dimension 3 qu'en dimension 2 ?