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Géodésique sur une variété riemmanienne



  1. #1
    rvz

    Géodésique sur une variété riemmanienne


    ------

    Salut tous,

    Une petite question sur les variétés riemanniennes (orth ?) : Déjà, je ne sais pas trop ce que c'est, j'en ai juste une vision intuitive, typiquement sphère, cylindre, sous variétés différentielles. Si quelqu'un pouvait me faire un petit topo sur quelle est la grosse différence avec des sous variétés différentielles, ça m'intéresse.

    Mais la question que je me pose vraiment, et qui pour moi est fondamentale est : Je considère M une variété riemannienne munie d'une métrique g. Comment définit on les géodésiques ?
    Concrètement, je vais me donner un point x dans M, un vecteur X dans l'espace tangent au point x, et je suppose que je vais me donner la géodésique comme un flot d'une certaine équation différentielle dirigée par X.
    Mon problème est le suivant. Si j'écris
    , j'ai besoin de définir X(t) comme un champ de vecteur du plan tangent de y(t), et puis, je suppose que X doit vérifier certaines propriétés pour que la trajectoire soit bien une géodésique. Ou alors, peut-être que les changements de cartes marchent suffisamment bien pour me permettre de ne définir X comme un vecteur de R^n, et de le bouger avec les cartes/projections/etc..

    En tout cas, comme vous le constatez, le problème de ma vision intuitive de la chose est que je me perds bien vite dans un tas de propositions plus ou moins fumeuses, et j'aurais bien besoin qu'une bonne âme vienne débroussailler dans mon cerveau.

    Merci d'avance,
    __
    rvz

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  3. #2
    rvz

    Re : Géodésique sur une variété riemmanienne

    Ok, vous embêtez pas, je viens de voir que wiki est assez complet à ce sujet, donc pas la peine de se tracasser.
    __
    rvz

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