Probabilités (2)

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé de l'exercice que j'essaye de résoudre :

Soit :
On considère un urne contenant boules blanches et boules noires.
On tire successivement boules de l'urne de sorte que :
- Si la boule tirée est blanche, on ne la remet pas dans l'urne.
- Si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne.

Quelle est la probabilité d'obtenir une seule boule blanche ?
Quelle est la probabilité pour que la première moitié des boules tirées sont de couleurs blanches ?
Soit . Quelle est la probabilité d'obtenir exactement boules blanches dans les premiers tirages ?

On suppose que les boules blanches et les boules noires sont numérotées de à .
On tire successivement et sans remise boules de l'urne. Quelle est la probabilité pour que la somme des deux numéros obtenus soit égale à ?

Voici le corrigé de l'exercice :


= ''Obtenir une seule boule blanche''
La boule blanche peut apparaître dans le tirage numéro ou le tirage numéro ou ... ou le tirage numéro .
On considère l'événement : = '' La boule blanche apparait seulement en tirage numéro avec .
:
( i.e : : ( fois ) ( - fois ) ( ) fois )
On a :
Puisque : et avec :
Alors,
D'où :
= ''Obtention de la première moitié des boules tirées toutes blanches''
:
( i.e : : ( - fois ) ( - fois )
D'où : avec :
= ''Obtenir exactement boules blanches dans les premiers tirages''
:
( i.e : : ( - fois ) ( - fois )
D'où :


= '' Obtenir deux boules de numéros ayant pour somme le nombre ''
:
Les boules blanches :
Les boules noires :
Alors :


Questions :

Je n'ai pas compris le corrigé de la question :
Pourquoi : ? Comment ont-ils trouvé ce résultat ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Comme le corrigé ne t'explique rien, le mieux serait que tu essaies de faire toi-même cette question 2, puis, si à un moment tu bloques, que tu nous dises ce que tu as fait (en détaillant ta démarche, les raisons de tes calculs, en français courant). On t'aidera à continuer.
mais nous demander de décoder un "corrigé" (*) et en plus d'essayer de deviner ce qui te bloque, ce n'est pas la bonne idée.

Donc, conformément aux règles du forum, fais et dis-nous ce que tu as fait.

Cordialement.

(*) ce que tu as écrit n'est pas un corrigé, il n'est même pas dit quelles règles sont appliquées. Ce sont seulement des notes succinctes prises par quelqu'un qui a fait dans sa tête une correction ou qui a écouté un correcteur.

[Anonyme007]

Bonjour gg0 :

Dans , j'ai compris d'où vient : dans le dénominateur, il s'agit de tirer simultanément et sans remise boules parmi boules contenu dans l'urne. Il reste à déchiffrer la provenance du numérateur . Ce que je n'arrive pas à comprendre.
On a : = '' la somme des deux numéros obtenus soit égale à ''.
C'est à dire : : :
Or on tire numéro parmi deux éventuels numéros dans l'urne qui est et on tire numéro parmi deux éventuels numéros dans l'urne qui est , ce qui donne au total tirages, mais je ne sais pas d'où vient dans , et pourquoi il s'agit de et non de , puisqu'il s'agit de tirages successives et sans remises ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

On a : = '' la somme des deux numéros obtenus soit égale à ''.
C'est à dire : : :
Donc, on tire numéro parmi deux éventuels numéros dans l'urne qui est représenté paar possibilités et on tire numéro parmi deux éventuels numéros dans l'urne qui est représenté par possibilités , ce qui donne au total tirages pour fixé, puis on multiplie par pour avoir , parce que dans ce cas, ( On fait parcourir ) parcourt numérotation possible qui est : reproduite fois, puis on ajoute la numérotation qui est une numérotation particulière représentant le tirage de numéro parmi deux éventuels numéros dans l'urne qui est représenté par possibilités ainsi que le tirage de numéro parmi éventuels numéros restantes dans l'urne qui est représenté par possibilités, ce qui donne au total tirages, par conséquent, on a : possibilités de tirages de deux boules dont la somme de leur numérotation soit égale à .

Sauf qu'il y'a un truc que je ne saisis encore pas bien, pourquoi il s'agit d'utiliser le symbole au lieu de , puisqu'il s'agit de tirages successives et sans remises dans cette question aboutissant à l'expression : ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

il n'y a pas d'ordre dans une somme. Donc l'ordre de tirage n'intervient pas. D'ailleurs c'est bizarre que le dénominateur n'utilise pas des combinaisons.
je ne comprends d'ailleurs pas ton "corrigé", faute d'une explication cohérente. Pire, il y a des écritures idiotes, avec des pour dire le nombre de façons de choisir une boule parmi k. Tout le monde sit que le nombre de choix quand on a k choix possibles est tout simplement k. C'est du n'importe quoi ton "corrigé".

J'attends toujours ta façon de traiter la question. Tu continues à faire ce travail malsain d'essayer de deviner ce qu'a bien pu penser l'auteur du "corrigé". Avec 100 fois moins d'efforts tu feras ta propre correction, et, vu ce qui est écrit, tu es moins idiot que celui qui a écrit ça.
A savoir : Si on lit bien l'énoncé, la question 2 n'utilise pas "- Si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne" puisqu'il est dit "tirage sans remise". Encore une fois un énoncé mal rédigé. Tu as choisi un livre (ou site) vraiment nul ! Dans ce cas un simple arbre, une foi vu que si on tire la boule numérotée n/2 on ne peut pas réussir (il faudrait la retirer) donne immédiatement la solution. Qui n'est pas celle du corrigé. D'ailleurs ce que donne le corrigé est assez bizarre, par simplification des factorielles (calcul qu'aurait dû faire ce corrigé s'il était sérieux) on obtient

Et ça fait plus de 1 si n est au moins égal à 2.

Donc ne perds plus ton temps à essayer de justifier cette ânerie.

[Anonyme007]

D'ailleurs c'est bizarre que le dénominateur n'utilise pas des combinaisons.

Le dénominateur n'utilise pas les combinaisons parce que :
Voici comment débute l'énoncé de la question :
On suppose que les boules blanches et les boules noires sont numérotées de à .
On tire successivement ( avec ordre ) et sans remise ( i.e : sans répétition ) boules de l'urne.
Donc, automatiquement, on pense à utiliser le symbole : .

[gg0]

Effectivement,

mais la question posée ne dépend pas de l'ordre. Et si on tient à l'ordre, pourquoi des C en haut, pas des A ?
Non, ton document est à jeter : énoncés incohérents, corrections absurdes, voire totalement fausses

[jacknicklaus]

Le "corrigé" est clairement faux, puisque le numérateur doit tenir compte de n pair ou impair. Les calculs sont différents dans les 2 cas. En effet :
- les tirages de somme n en boules Noires sont les {(N1,Nn-1),(N2,Nn-2), ...,(Nn-1,N1)}. Or si n Pair on trouve dans cette suite (N(n/2), N(n/2)) qui est interdit car 2 boules noires de même numéro sont interdites. Donc le nombre de tirages en boule noires, avec ordre, est n-1 si N impair, et n-2 si N pair. Idem pour les Blanches.
- Pas de telle contrainte pour les tirages {(N1,Bn-1)..} ou {(B1,Nn-1)...} dont le nombre dans chaque cas est n-1

Au final, le nombre de tirages favorables (avec ordre)
n pair : 2(n-1) + 2(n-2) = 4n-6
n Impair : 4(n-1)
Le nombre total de tirages, avec ordre : 2n(2n-1)

Et les probabilités :
n pair : (2n-3)/(n(2n-1))
n impair : (2n-2)/(n(2n-1))

[gg0]

Jacknicklaus,

n est définit (au début) comme pair.

Cordialement.