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Calcule iteratif de Pi



  1. #1
    Ksilver

    Calcule iteratif de Pi


    ------

    Bonsoir !


    en cherchant des formule pour calculer une valeurs approché de Pi, je suis tomber sur ce jeu de formule :







    qui verifie (enfin, il parait ^^) :




    donc une convergence quadratic plutot facile a mettre en oeuvre.


    la question que je me pose c'est :

    quelqu'un sait-il d'ou viens cette suite ? comment peut-on demontrer, qu'elle converge ? qu'elle converge aussi vite ?


    Merci !

    -----

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  4. #2
    Ksilver

    Re : Calcule iteratif de Pi

    j'oubliait :

    x0 = sqrt 2
    y0=0
    alpha0=2+sqrt(2)

  5. #3
    Pole

    Re : Calcule iteratif de Pi

    Si tu cherches à programmer une formule, il y a bien mieux :
    a=1+1.5*sqrt(2)/2
    b=sqrt(a)
    c=1/(2*sqrt(2))
    e=b-0.625
    b=2*b
    c=e-c
    a=a+e
    puiss=4

    Après, tu fais n fois
    puiss=2*puiss
    e=(a+b)/2
    b=sqrt(a*b)
    e=e-b
    b=2*b
    c=c-e
    a=e+b

    Après,
    e=(e/2)^2
    a=a+b
    pi~=(a^2-e-e/2)/(a*c-e)/puiss

    Convergence quadratique et comme complexité 1 racine carré et 1 multiplication alors que ta formule a 1 racine carré et 2 divisions (on peut se débarasser de la première).
    Je compte uniquement ce qu'il ya dans la boucle, et je saute les additions,les soustractions, les multiplications d'un entier par un grand nombre et les divisions d'un grand nombre par une entier, car elles sont très rapides.

    Regarde ici : http://numbers.computation.free.fr/C.../Pi/piAGM.html

    Désolé de n'avoir pas pu répondre à tes questions.

    Pole.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  6. #4
    Ksilver

    Re : Calcule iteratif de Pi

    merci, mais je connait deja l'algo de Salamin

    effectivement il utilise deux fois moins d'operation lourde que le jeu de formule cité precedement, mais ,(deja, rien ne dit que la convergence se fait a la meme vitesse) surtous AGM a un petit defaut (enfin dans la version que tu a mise en lien que je connaisait deja, celle que tu ecrit je ne sais pas j'ai un peu du mal a voir comme sa) le calcule de 2^k*(a²-b²), qui neccécite de calculer a et b avec k bit de plus que neccesaire si on veux faire k iteration (puisqu'en multiplicant par 2^k, on augmente l'impresicion des calcules...)

    c'est pour sa que je voulais comparer avec ce jeu de formule, la seul formule qui converge quadratiquement (on plus) que j'ai trouvé qui ne semble pas posé de probleme ce type

    enfin je me trompe peut-etre... en attendant si qqn pense avoir une demonstration ou une reference... je suis preneur.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Ksilver

    Re : Calcule iteratif de Pi

    en tous cas merci, je connaisait pas ce site, et il y a plein de chose interessante dessus !

  9. #6
    Pole

    Re : Calcule iteratif de Pi

    Citation Envoyé par Ksilver
    effectivement il utilise deux fois moins d'operation lourde que le jeu de formule cité precedement, mais ,(deja, rien ne dit que la convergence se fait a la meme vitesse) surtous AGM a un petit defaut (enfin dans la version que tu a mise en lien que je connaisait deja, celle que tu ecrit je ne sais pas j'ai un peu du mal a voir comme sa) le calcule de 2^k*(a²-b²), qui neccécite de calculer a et b avec k bit de plus que neccesaire si on veux faire k iteration (puisqu'en multiplicant par 2^k, on augmente l'impresicion des calcules...)

    c'est pour sa que je voulais comparer avec ce jeu de formule, la seul formule qui converge quadratiquement (on plus) que j'ai trouvé qui ne semble pas posé de probleme ce type

    enfin je me trompe peut-etre... en attendant si qqn pense avoir une demonstration ou une reference... je suis preneur.
    En fait, on n'a plus de précision avec "ma" formule : 1392 décimales contre 171 pour "ta" formule. (calcul sur 6 itération)

    En fait k n'est jamais très grand : on se fiche de 14 bits en plus quand on en a 60000.

    Citation Envoyé par Ksilver
    en tous cas merci, je connaisait pas ce site, et il y a plein de chose interessante dessus !
    Très très intéressant comme site. Si tu veux t'amuser il y a aussi www.pi314.net (peut être que tu connais déjà).

    Pole.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

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