Bijection entre deux variétés topologiquement différentes

[geometrodynamics_of_QFT]

J'ajouterais qu'il y a aussi un changement, outre d'orientation, de longueur de l'intervalle .
En effet, en ,
et en ,

avec ...

Or sur le losange, correspond à l'hypothénuse d'un triangle rectangle, et correspond à un côté adjacent.
On voit bien que pour qu'il aient la même longueur mathématiquement, la géométrie ne peut pas être euclidienne...
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[invite9dc7b526]

Le problème de Thomson, c'est trouver la position d'équilibre de N charges sur une sphère.

est-ce la même chose que le problème des dictateurs? (placer N points sur la sphère de façon à maximiser la distance minimale entre deux quelconques de ces points)

[geometrodynamics_of_QFT]

est-ce la même chose que le problème des dictateurs? (placer N points sur la sphère de façon à maximiser la distance minimale entre deux quelconques de ces points)

En effet, comme mentionné sur l'article de wikipedia (sur la verison anglaise uniquement), le problème des dictateurs (problème de Tammes) peut-être vu comme un cas particulier du problème de Thomson.
Il semble que ce problème consiste à placer des cercles sur la sphère, let non des points, ce qui revient sans doute mathématiquement au même lorsqu'il s'agit de maximiser la distances entre ceux-ci.
Il me semble néanmoins que certaines solutions au problème de Thomson consistent en des configurations où tous les points ne sont pas équidistants...(ex : N=11)

[azizovsky]

Bonjour, je ne sais pas quel astuce t'utilise pour obtenir la sphère, le collement de la moitié du losange donne, soit un demi cylindre (collement suivant le cercle, les deux moitiés donne un cylindre ), soit une cône (collement suivant deux arrêtes du losanges ) où la base est un ellipse* , les deux morceaux donne une structure 'triangulaire gonflée', pour obtenir une sphère à partir de cette structure qui possède des singularités par 'gonflement ou expansion du volume obtenu', il faut définir cette opération mathématiquement**.

*https://fr.wikipedia.org/wiki/C%C3%B...iques_cone.png
** opération asymétrique .(bien poser le problème, c'est en soit un chemin pour sa résolution )

[azizovsky]

Bonjour, je ne sais pas quel astuce t'utilise pour obtenir la sphère, le collement de la moitié du losange donne, soit un demi cylindre (collement suivant le cercle, les deux moitiés donne un cylindre ), soit une cône (collement suivant deux arrêtes du losanges ) où la base est un ellipse* , les deux morceaux donne une structure 'triangulaire gonflée', pour obtenir une sphère à partir de cette structure qui possède des singularités par 'gonflement ou expansion du volume obtenu', il faut définir cette opération mathématiquement**.

*https://fr.wikipedia.org/wiki/C%C3%B...iques_cone.png
** opération asymétrique .

[azizovsky]

rectification: cos²(v) au lieu de cos(v) dans la 1ère forme ..., en soi sans t , doublon .

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour, je ne sais pas quel astuce t'utilise pour obtenir la sphère, le collement de la moitié du losange donne, soit un demi cylindre (collement suivant le cercle, les deux moitiés donne un cylindre ), soit une cône (collement suivant deux arrêtes du losanges ) où la base est un ellipse* , les deux morceaux donne une structure 'triangulaire gonflée', pour obtenir une sphère à partir de cette structure qui possède des singularités par 'gonflement ou expansion du volume obtenu', il faut définir cette opération mathématiquement**.

Oui, je vois bien ce que tu veux dire, et c'est effectivement un double cône qu'on obtiendrait naïvement en recollant 2 côtés adjacents du losange 2 à 2 (ceux du bas ensemble, et ceux du haut ensemble).
Le sommet du cône a une courbure infinie, or le pôle correspondant sur la sphère se trouve localement dans un région à courbure finie.
Cependant, "en contre-argument", on voit que les méridiens convergent vers le pôle dans le losange (comme sur la sphère), et que les parallèles (sur le losange) voient leur longueur tendre continûment vers 0 à mesure que latitude augmente...tout comme sur la sphère.

Concernant ta remarque qu'une géométrie sphérique ne peut être transformée en géométrie euclidienne, je répète une fois de plus que dans ce cas-ci, la métrique n'est pas euclidienne, comme c'est esquissé dans les messages précédents.

Pour développer un peu plus :

Soit un élément de longueur dans la direction des parallèles, sur le losange.
Soit la mesure de cet élément de longueur dans un espace euclidien dans lequel on a immergé le losange...

On a avec

De sorte que et , comme il se doit sur la sphère.

Le raisonnement est similaire pour , mais plus compliqué, car non seulement la longueur change avec , mais aussi l'orientation...
Ce que j'obtiens pour le moment est quelque chose du genre:

avec , où ......
(on voit également apparaître la singularité de coordonnées (le méridien opposé) en ....)

On aura donc au total :

....