Différentiabilité d'une application entre deux sous-variétés de IR^n

[Seirios]

Bonjour à tous,

On se donne une sous-variété M (resp. N) de (resp. ) de dimension m (resp. n), et une application . J'aimerais montrer l'équivalence entre les deux définitions suivantes :

Définition 1 : f est si pour tout , pour toutes cartes de x et de f(x), est définie sur un ouvert de contenant et est .

Définition 2 : f est si pour tout , il existe un voisinage ouvert U de x dans et une application prolongeant f de sur U.

Il est clair que la définition 2 implique la définition 1, mais la réciproque me semble moins évidente. Il est possible d'utiliser un résultat assez général sur les prolongements d'applications définies sur des sous-variétés de via une partition de l'unité, mais le résultat est beaucoup plus fort (il est global, alors qu'ici on a seulement besoin d'un prolongement local) et la preuve est plutôt lourde.

Ma question est donc : y a-t-il un argument élémentaire qui permette de montrer que la définition 1 implique la définition 2 ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite76543456789]

Salut!
Tu peux prolonger ton application en une application lisse de ton grous ouvert dans N. Tout irait bien si localement tu pouvais voir M comme l'image de cette ouvert par une projection de type R^a->R^(a-codim(M,R^a)), c'est a dire que tu veux voir ta variété localement comme le graphe d'une fonction lisse, or ca c'est toujours possible par le theoreme des fonctions implicites.

[Seirios]

Je ne suis pas vraiment ton raisonnement, tu pourrais être plus clair ?

[invite76543456789]

Salut!
Quitte a effectuer un changement linéaire de coordonnées tu peux supposer au voisinage (dans R^a) d'un point m de ta sous-variété M, que M inter ce voisinage est l'ensemble des (x,h(x)) pour x variant dans un petit ouvert de R^d (où d est la dimension de M) et pour h une certaine fonction lisse. C'est le theoreme des fonctions implicite.
Es tu Ok jusque la?

Tu peux definir alors une application de ce voisinage de R^a dans M inter ce voisinage, c'est (p,hop) (où p est la projection sur R^d), comme cette dernière est linéaire et h lisse, alors poh est est lisse et ceci te donne une application de U (le voisinage) dans M inter U. En composant par f ton application de M dans N, tu obtiens une application de U dans N qui etend f.

J'ai supposé que tu avais la definition de sous variété que l'on trouve le plus frequement dans les ouvrages (i.e il n'y a qu'une "feuille" de la sous variété dans un ouvert suffisament petit de R^n) ce que certains auteurs appelent sous variété regulière. Avec cette definition la spirale par exemple n'est pas une sous variété de R^n. Si tu as une defintion plus souple alors ma preuve peut ne pas marcher.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

En fait la definition que tu prends de sous variété n'aura pas d'importance, parce que ta question est locale, et que localement elles sont toutes la meme chose (enfin sauf les sous variété immergées mais je doute que ta definition de sous variété les englobe justement, car ce n'est jamais le cas, et l'appelation est impropre).

[Seirios]

D'accord, je vois le raisonnement. Il n'y a qu'un seul point qui me pose problème en pratique :

Quitte a effectuer un changement linéaire de coordonnées tu peux supposer au voisinage (dans R^a) d'un point m de ta sous-variété M, que M inter ce voisinage est l'ensemble des (x,h(x)) pour x variant dans un petit ouvert de R^d (où d est la dimension de M) et pour h une certaine fonction lisse. C'est le theoreme des fonctions implicite.

Je pars de la définition de sous-variété de en termes de cartes. On se fixe un point x d'une sous-variété M (de dimension d). Je trouve alors un ouvert U contenant x dans et une submersion telle que . J'ai donc envie d'appliquer le théorème des fonctions implicites, et pour cela il me suffit de montrer que la différentielle est inversible (en considérant la décomposition ). Et c'est là que je tombe sur un problème : je sais que est surjective, mais a priori je ne peux pas en déduire de condition sur . Je passe à côté de quelque chose ?

[invite76543456789]

Tu loupes juste un petit truc, le rang de ta differentielle est n, donc quitte a composer par des automorphismes linéaires (c'est a dire faire un changement linaire de coordonnées) tu peux te ramener au cas ou ta matrice jacobienne est Jn, de R^(n+d) dans R^n, donc par le dit theoreme il existe h une application lisse de R^d dans R^n telle que localement ta variété soit (x,h(x)) dans R^(n+d) avec x dans R^d.

[Seirios]

Donc on se ramène à trouver deux applications linéaires telles que soit de la forme souhaitée. Mais , la dépendance en du point en lequel on calcule la différentielle ne pose-t-il pas problème ?

[invite76543456789]

Non ca pose pas de probleme, géométriquement c'est le meme point, c'est juste ces coordonnées qui changent. La fonction tu ne l'etudies plus au point x mais au point phi_2^{-1}(x). Si tu veux tu peux etudier g=phi1ofophi 2, alors f est lisse en un point x ssi g est lisse au point phi_2^{-1}(x).
Si ce mode de raisonnement te derange (mais ce serait genant, il est utilisé partout), tu peux aussi prendre un I supplemenaire du noyau de la differentielle, N, dans R^(n+d), alors ta differentielle va de NxI dans R^n, et I est isomorphe a R^n, et tu applique alors le theoreme des fonctions implicites selon les axes N et I, en fait cela revient au meme les automorphisme phi par lesquels tu compose envoient N sur R^dx{0} et I sur {0}xR^n, tu "redresses" les axes.

[Seirios]

Ce que je veux dire, c'est que l'on peut trouver linéaires telles que est de la forme souhaitée. Comme , on se met alors à étudier une fonction en un point qui n'appartient pas nécessairement à M...De plus, on souhaite qu'elle s'annule sur M alors que ce n'est plus nécessairement le cas.

[Seirios]

A moins que tu sous-entends que l'on identifie à ?

[Arkhnor]

Bonjour,

Dans une carte appropriée, la variété M est de la forme R^m x {0} et une fonction lisse f de R^m x {0} dans R^n se prolonge immédiatement en une fonction lisse de R^a dans R^n en posant g(x,y) = f(x).

[Seirios]

Merci, je m'en suis sorti avec cette indication. Par contre, je serais curieux de savoir si le raisonnement précédent peut être achevé.

[invite76543456789]

Mais le raisonnement est achévé!
C'est exactement le meme raisonnement qu'Arkhnor d'ailleurs!
Le theoreme des fonctions implicites te dit que quitte a changer de carte (conjuguer par les automorphismes phi dont on parlait) ta variété est localement le graphe d'une fonction lisse de R^p dans R^n. Ce qui est peu ou prou la meme chose que de dire que dans une certaine carte ta sous variété est R^p dans R^n.

Pour repondre precisement a ta question de hier soir, oui phi_2^{-1} (UinterM) est identifié a U inter M, mais conjuguer par phi_2 et phi_1, c'est juste changer la carte dans laquelle tu lis l'application f. Au lieu de lire f dans psi_1 psi_2, et donc de t'interesser a psi_1ofopsi2 tu lis f dans psi1ophi1, psi2ophi2.

Je vois pas trop ce qui te bloque en fait (enfin surtout au vu du message d'akhnor où exactement la meme idée ne te pose pas probleme).

[Seirios]

Je suis d'accord que c'est la même idée, mais l'approche me semble légèrement différente. J'ai raisonné comme suit :

Je me donne une carte de x dans M. Par continuité, je peux trouver un voisinage ouvert de x tel que . Et alors convient.