exercice convexité

[invite2a558dc8]

bonjour,
soient C1 et C2 des ensembles convexes dans R2. montrer que C1 x C2 est convexe dans R4.

voila j'ai cet exercice a faire et je ne suis pas tres doué avec la convexité et je ne sais pas du tout par ou commencer. un peu d'aide serait la bienvenue .
merci !!
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[invite57a1e779]

je ne sais pas du tout par ou commencer.

Bonjour,

Dans la plupart des cas, la définition est un bon point de départ.

Par conséquent tu te donnes
– deux éléments a=(a₁,a₂) et b=(b₁,b₂) de C₁xC₂,
– un nombre réel t appartenant à [0,1],
et tu prouves que ta+(1-t)b=(ta₁+(1-t)b₁,ta₂+(1-t)b₂) appartient également à C₁xC₂.

[invite2a558dc8]

mais je ne vois pas comment en utilisant la definition d'un ensemble convexe on peut arriver a un truc pareil

[invite57a1e779]

a₁ et b₁ appartiennent à C₁ qui est convexe, donc ta₁+(1-t)b₁ ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a558dc8]

sa nous donne donc ta1+(1-t)b1 avec a1 et b1 qui appartiennent a C1 et
ta2 +(1-t)b2 avec a2 et b2qui appartiennent a C2 .
puis on dit que on prend deux point qui appartiennent a C1 x C2 et on fait le produit cartesien et c'est fini???

[invite57a1e779]

Non, ce n'est pas fini !
Je n'ai que très rarement vu un exercice où il n'y a rien à faire.

Peux-tu donner, de façon générale, la définition de « l'ensemble C est convexe » ?

Puis peux-tu réécrire cette définition dans chacun des cas particuliers : C=C₁, C=C₂, C=C₁xC₂ ?

[invite2a558dc8]

Non, ce n'est pas fini !
Je n'ai que très rarement vu un exercice où il n'y a rien à faire.

Peux-tu donner, de façon générale, la définition de « l'ensemble C est convexe » ?

Puis peux-tu réécrire cette définition dans chacun des cas particuliers : C=C₁, C=C₂, C=C₁xC₂ ?

soit c un ensemble de Rn, pour tout point x et y appartenant a C, le segement qui lie x a y dans C tq (1-t)x+ty : t appartenant a [0.1]

pour C=C1
sa donne (1-t)a1+tb1
pour c=c2
sa donne (1-t)a2+tb2
pour c=c1xc2
sa donne (1-t)(a1,a2)+t(b1,b2)
enfin je pense

[invite57a1e779]

C'est très mal formulé, mais c'est l'idée.
Si l'on a la propriété pour les éléments de C₁ d'une part, pour les éléments de C₂ d'autre part, il est facile de l'avoir pour les éléments de C₁xC₂ qui sont des couples.

[invite2a558dc8]

c'est a dire c'est mal formuler?

[invite57a1e779]

pour C=C1
sa donne (1-t)a1+tb1

Ce que tu écris ici n'a aucun sens.
C'est comme si j'écrivais « pour C=N, ça donne n » : c'est joliment formulé, mais ça ne veut absolument rien dire.

[invite2a558dc8]

et sa se formulerai comment j'ai pas vraiment eu de cours la dessus

[invite57a1e779]

Pour tout élément x de C, pour tout élément y de C, le segment [x,y] d'extrémités x et y est contenu dans C, c'est-à-dire que, pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle [0,1], tx+(1-t)y appartient à C.

Tu as une hypothèse de convexité pour chacun des C_i qui te fournit une voie pour passer des hypothèses : « a_i et b_i sont deux éléments de C_i, et t est un nombre réel appartenant à l'intervalle [0,1] » à la conclusion : « ta_i+(1-t)b_i appartient à C_i ».

Il faut que tu construises une voie pour passe de l'hypothèse : « a et b sont deux éléments de C₁xC₂, et t est un nombre réel appartenant à l'intervalle [0,1] » à la conclusion : « ta+(1-t)b appartient à C₁xC₂ ». Et pour construire cette voie, tu disposes des deux voies précédentes.

[invite2a558dc8]

j'ai fait
ta1+(1-t)b1 * ta2+(1-t)b2
et j trouve un truc bizare
t²a1a2+ta1b2(1-t)+ta2b1(1-t)+(1-t)²b1b2 c'est sa la réponse

[invite2a558dc8]

je ne vois vraiment pas comment on peut faire ! je suis pommer