Convexité 2

[Thoy]

Merci de votre précédent soutien, ça m'a débloquée et aidée à terminer l'exercice sans problème !

J'ai maintenant un autre problème puisque les énoncés sont aussi courts qu'il est difficile de percevoir le raisonnement à faire.

I intervalle non majorée et f de I dans R convexe. Montrer que si f admet une limite finie en + l'infini, alors elle est décroissante.

Je me suis dit qu'il fallait la supposer croissante, la minorer par une fonction affine par exemple qui tend vers + l'infini en + l'infini, et donc c'est absurde puisque f tend vers l. Mais c'est dur à mettre en place, pouvez vous m'aider ?
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[KerLannais]

Salut,

Je crois que tu as tout dit et je ne vois pas ce qui te pause encore problème. Je ne sais pas si tu as remarqué mais la fonction affine que j'ai utilisé c'est juste le prolongement d'une corde du graphe. Si tu suppose ta fonction strictement croissante (puisque le contraire de décroissant est strictement croissant) alors tu as forcément une corde qui "monte strictement", tu la prolonge en une droite qui correspond à une fonction affine de pente strictement positive et qui tend donc vers l'infini et qui est minorante ...

[Hamb]

(puisque le contraire de décroissant est strictement croissant)

Je suppose que c'était volontaire mais je préfère préciser, ici c'est vrai parce que la fonction est convexe mais dans le cas général c'est faux.

edit : enfin ca peut n'etre vrai qu'a partir d'un certain rang dans le cas ou la fonctino est convexe.

[Thoy]

Oui bien sûr, le seul problème est que je ne sais pas rédiger rigoureusement, je l'ai fait rapidement mais impossible d'arriver à qqch de propre et concis !

[A voir en vidéo sur Futura]

[MMu]

Notons (finie).
Supposons que n'est pas décroissante, donc il existe tels que .
Notons , donc
Comme est convexe on peut écrire
Notons . Comme il résulte qu'il faut
Montre que , avec
Montre que . Comme est convexe on peut écrire
Je te laisse déduire de ça une contradiction .