Bonsoir à tous !
Je bloque sur un exercice sur les produits scalaires et je vous serais reconnaissant de me donner quelques indices. Voilà l'énoncé :
Soit*
On posetel que
etoù
est la matrice transposée de
.
On noteun endomorphisme de
canoniquement associé à la matrice
.
On munitde son produit scalaire usuel et on note
la norme euclidienne associée.
Question 1 :
La matriceest-elle diagonalisable ? Déterminer ses valeurs propres et les vecteurs propres associés.
=>est symétrique car
et réelle donc
est diagonalisable (dans une base orthonormée de vecteurs propres). De plus
donc
et
sont valeurs propres de A.
Mais c'est là que je bloque. Premièrement, je ne sais pas s'il y a d'autres valeurs propres (vue la suite de l'énoncé ça m'étonnerait) et surtout je n'arrive pas à déterminer les vecteurs propres associés.
J'ai essayé de trouvertel que
avec
mais ça me donne des calculs vraiment compliqués. Je sais juste que
est un vecteur propre associé à la valeur propre
mais ça ne m'avance pas énormément.
Est-ce qu'il faut alors que j'utilise le fait queest diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres pour pouvoir déterminer ces vecteurs propres ?
Question 2 :
A quelle condition surl'application
est-elle une symétrie ? Préciser celle-ci.
=>est-elle une symétrie si ses valeurs propres sont
et
, CAD ici si
Mais comment est-ce que je vais plus loin ? Qu'est-ce que l'énoncé entend par "Préciser celle-ci"?
Question 3 :
A quelle condition surl'application
est-elle une projection ? Préciser celle-ci.
=> De même avec
Voilà je vous serais donc très reconnaissant de me donner quelques pistes parce que je suis un peu bloqué là !
Merci à tous !
ZImbABwé.
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