Algèbre bilinéaire

[inviteb64a2f8e]

Bonsoir à tous !

Je bloque sur un exercice sur les produits scalaires et je vous serais reconnaissant de me donner quelques indices. Voilà l'énoncé :

Soit *

On pose tel que

et où est la matrice transposée de .

On note un endomorphisme de canoniquement associé à la matrice .
On munit de son produit scalaire usuel et on note la norme euclidienne associée.

Question 1 :

La matrice est-elle diagonalisable ? Déterminer ses valeurs propres et les vecteurs propres associés.

=> est symétrique car et réelle donc est diagonalisable (dans une base orthonormée de vecteurs propres). De plus donc et sont valeurs propres de A.

Mais c'est là que je bloque. Premièrement, je ne sais pas s'il y a d'autres valeurs propres (vue la suite de l'énoncé ça m'étonnerait) et surtout je n'arrive pas à déterminer les vecteurs propres associés.

J'ai essayé de trouver tel que avec mais ça me donne des calculs vraiment compliqués. Je sais juste que est un vecteur propre associé à la valeur propre mais ça ne m'avance pas énormément.

Est-ce qu'il faut alors que j'utilise le fait que est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres pour pouvoir déterminer ces vecteurs propres ?


Question 2 :

A quelle condition sur l'application est-elle une symétrie ? Préciser celle-ci.

=> est-elle une symétrie si ses valeurs propres sont et , CAD ici si

Mais comment est-ce que je vais plus loin ? Qu'est-ce que l'énoncé entend par "Préciser celle-ci"?

Question 3 :

A quelle condition sur l'application est-elle une projection ? Préciser celle-ci.

=> De même avec


Voilà je vous serais donc très reconnaissant de me donner quelques pistes parce que je suis un peu bloqué là !

Merci à tous !

ZImbABwé.
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[invitea41c27c1]

Si est un vecteur unitaire, quel est l'endomorphisme ?

La seule réponse à cette question permet de torcher l'exo...

[inviteb64a2f8e]

Salut,

Merci pour ta réponse !

Désolé, je ne vois pas trop ce que tu veux dire :

Si est unitaire, alors on a

Mais je ne vois pas en quoi ça peut m'aider pour déterminer =S

[invitea41c27c1]

C'est quoi la formule de la projection orthognale de X sur vect(C) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

si et seulement si et avec <...> le produit scalaire, ie , , ie , .

Mais je ne vois pas trop où il faut aller ensuite. Je ne comprends pas en quoi ça peut m'aider à trouver les sous espaces propres, ou à répondre aux deux autres questions =S

[invitea41c27c1]

Il faut connaitre la formule suivante :
.
C'est bon ? Maintenant est tu capable de diagonaliser ?

[inviteb64a2f8e]

Il faut connaitre la formule suivante :
.
C'est bon ?

Ah oui désolé, en plus je la connais cette formule.

Maintenant est tu capable de diagonaliser ?

est symétrique et réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.

Ce que je ne comprends pas c'est qu'on a donc mais il nous faudrait plutôt quelque chose du type pour pouvoir dire que est vecteur propre de et donc pour pouvoir diagonaliser .